(11 pts) Diagonalize a matriz A a seguir, ou seja, determine a matriz invertível P e a matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
A=\left[\begin{array}{ll} 6 & 1 \\\\ 4 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = \begin{pmatrix}6 & 1\\\ 4 & 3\end{pmatrix},
ou seja, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores para isso.

Passo 2

Primeiro, calculamos o polinômio característico de A. Temos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}6-\lambda & 1\\[6pt]4 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (6-\lambda)(3-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 9\lambda + 14.
Resolvendo \lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0, obtemos
\lambda = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2},
logo os autovalores são \lambda_1 = 7 e \lambda_2 = 2.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda_1 = 7, resolvemos (A - 7I)v = 0:
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[3pt]4 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Escolhemos v_1 = (1,1)^\mathsf{T}.
Para \lambda_2 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
\begin{pmatrix}4 & 1\\[3pt]4 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -4x.
Escolhemos v_2 = (1,-4)^\mathsf{T}.]

Passo 4

Com esses autovetores, montamos
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & -4\end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix}7 & 0\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Para confirmar, basta verificar que P é invertível (determinante \det P = -5 \neq 0) e calcular
P^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix}-4 & -1\\[3pt]-1 & 1\end{pmatrix},
de modo que realmente A = P\,D\,P^{-1}.]

Resposta

P = \displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -4\end{pmatrix} D = \displaystyle\begin{pmatrix}7 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}

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