(11 pts) Diagonalize a matriz
a seguir, ou seja, determine a matriz invertível
e a matriz diagonal
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
ou seja, encontrar uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores para isso.
Passo 2
Primeiro, calculamos o polinômio característico de
. Temos
Resolvendo
, obtemos
logo os autovalores são
e
.]
Passo 3
Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para
, resolvemos
:
Escolhemos
.
Para
, resolvemos
:
Escolhemos
.]
Passo 4
Com esses autovetores, montamos
Para confirmar, basta verificar que
é invertível (determinante
) e calcular
de modo que realmente
.]