(4 pts) Considere a matriz A :
A=\left[\begin{array}{cc} 12 & b \\\ a & 3 \end{array}\right]
Determine os valores de a e b de modo que \operatorname{det}(A)=20 e os autovetores da matriz A sejam ortogonais, ou seja, sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}12 & b \\[6pt] a & 3\end{pmatrix}
e pede que \det(A)=20 e que os autovetores de A sejam ortogonais.
Conteúdo necessário: cálculo de determinante de matriz 2\times2 e condição para autovetores ortogonais (matriz real normal ou, neste caso, simétrica).]

Passo 2

Usamos a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det(A) = 12\cdot 3 \;-\; a\,b = 36 - ab.
Como queremos \det(A)=20, temos
36 - ab = 20 \quad\Longrightarrow\quad ab = 16.

Passo 3

Em \mathbb{R}^{2}, uma matriz tem autovetores ortogonais se for normal, isto é, A\,A^{T}=A^{T}A.
Para
A=\begin{pmatrix}m & n\\\ p & q\end{pmatrix}
a condição de normalidade leva a
(m-q)(p-n)=0.
Aqui m=12 e q=3, então m-q=9\neq0. Logo precisa valer
p - n = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = b.

Passo 4

Juntando a=b com ab=16 obtemos
a^{2}=16 \quad\Longrightarrow\quad a = \pm 4,
e portanto
b = a = \pm 4.

Resposta

\displaystyle (a,b) = (4,4) ou (a,b)=(-4,-4).

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