Dê um exemplo de matriz de coeficientes, A, com pelo menos 2 linhas e 2 colunas, tal que o sistema de equações lineares A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tenha:
infinitas soluções, independentemente de \boldsymbol{b}.

Passo 1

Queremos uma matriz A tal que, para todo vetor \boldsymbol b, o sistema
A\,\boldsymbol x = \boldsymbol b
seja consistente (tenha solução) e, ao mesmo tempo, tenha mais de uma solução (ou seja, infinitas soluções). Em termos de álgebra linear isso significa que a aplicação linear definida por A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m deve ser sobrejetora (para todo \boldsymbol b existe \boldsymbol x) e não injetora (há mais de um \boldsymbol x que leva ao mesmo \boldsymbol b).

Passo 2

Para garantir sobrejetividade e não injetividade devemos ter
\text{posto}(A) = m < n.
Escolhemos o caso mais simples com m=2 equações e n=3 incógnitas, e posto igual a 2. Uma matriz que faz isso é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Verificação: seja \boldsymbol b = (b_1,b_2)^\mathsf{T}. O sistema
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix}
é equivalente a
x_1 = b_1,\quad x_2 = b_2,
e não impõe restrição em x_3. Logo, para qualquer (b_1,b_2) há solução, e como x_3 fica livre há infinitas soluções.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados