Dê um exemplo de matriz de coeficientes, A, com pelo menos 2 linhas e 2 colunas, tal que o sistema de equações lineares A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tenha:
infinitas soluções, independentemente de \boldsymbol{b}.
Passo 1
Queremos uma matriz A tal que, para todo vetor \boldsymbol b, o sistema
A\,\boldsymbol x = \boldsymbol b
seja consistente (tenha solução) e, ao mesmo tempo, tenha mais de uma solução (ou seja, infinitas soluções). Em termos de álgebra linear isso significa que a aplicação linear definida por A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m deve ser sobrejetora (para todo \boldsymbol b existe \boldsymbol x) e não injetora (há mais de um \boldsymbol x que leva ao mesmo \boldsymbol b).
Passo 2
Para garantir sobrejetividade e não injetividade devemos ter
\text{posto}(A) = m < n.
Escolhemos o caso mais simples com m=2 equações e n=3 incógnitas, e posto igual a 2. Uma matriz que faz isso é