-22 Um elétron é liberado a partir do repouso a uma distância perpendicular de 9,0 \mathrm{~cm} de uma barra năo condutora retilínea muito longa com uma densidade de cargas uniforme de 6,0 \mu \mathrm{C} por metro. Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron?

Passo 1

O que o problema pede: qual é o módulo da aceleração inicial de um elétron liberado do repouso a uma distância perpendicular de 9{,}0\\ \mathrm{cm} de uma barra não condutora retilínea muito longa com densidade de carga uniforme de 6{,}0\\ \mu\mathrm{C/m}.
Dados fornecidos (escritos em símbolos que usaremos):
\lambda = 6{,}0\\ \mu\mathrm{C/m} = 6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}
r = 9{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}090\\ \mathrm{m}
O que se pede: o módulo da aceleração inicial a do elétron.

Passo 2

Qual campo elétrico produzido por uma barra linear muito longa e com densidade \lambda? Explicação física passo a passo (Gauss e sim): para uma linha infinita de carga, usamos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. A ideia é: a simetria faz com que o campo elétrico tenha sempre a mesma magnitude E perpendicular à linha e uniforme sobre a superfície lateral do cilindro. Aplicando a Lei de Gauss,
\Phi_E = \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui, o fluxo atravessa apenas a superfície lateral (as tampas não contribuem porque \vec{E} é radial), então
E\cdot(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
Cancelando L e isolando E obtemos a fórmula padrão (guarde essa fórmula na prova!):
E = \frac{|\lambda|}{2\pi\epsilon_0 r}.
Explicação das letras: \lambda = densidade de carga linear (C/m), \epsilon_0 = permissividade do vácuo (F/m), r = distância perpendicular ao fio (m). O campo aponta radialmente para fora se \lambda>0 e para dentro se \lambda<0; aqui só precisamos do módulo.

Passo 3

Como o campo gera aceleração no elétron? Força elétrica sobre uma carga q é
\vec{F} = q\,\vec{E}.
Para o elétron q = -e (com e>0 o módulo da carga elementar). Usando a segunda lei de Newton,
\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_e} = \frac{q\,\vec{E}}{m_e}.
Pedem o módulo da aceleração, então
a = \frac{|q|\,E}{m_e} = \frac{e\,E}{m_e}.
Constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
\epsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 4

Calcular numericamente o campo \,E. Usando
E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r},
substituindo \lambda = 6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m} e r = 0{,}090\\ \mathrm{m}:
E = \frac{6{,}0\times10^{-6}}{2\pi\,(8{,}854187817\times10^{-12})\,(0{,}090)}\\ \mathrm{V/m}.
Vamos avaliar passo a passo (aproximações controladas):
2\pi\epsilon_0 r \approx 2\pi\cdot8{,}854187817\times10^{-12}\cdot0{,}090 \approx 5{,}01\times10^{-12}\\ \mathrm{(SI)}.
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E \approx \frac{6{,}0\times10^{-6}}{5{,}01\times10^{-12}} \approx 1{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Calcular a força sobre o elétron (módulo):
F = e\,E \approx (1{,}602176634\times10^{-19})\cdot(1{,}20\times10^{6})\\ \mathrm{N}.
Fazendo a conta,
F \approx 1{,}92\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a aceleração usando a=F/m_e:
a = \frac{1{,}92\times10^{-13}}{9{,}10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Fazendo a divisão,
a \approx 2{,}11\times10^{17}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário didático: esse número é enorme — elétrons são muito leves, então mesmo forças muito pequenas geram acelerações muito grandes. A direção da aceleração é para a linha (porque a linha tem carga positiva e o elétron é negativo), mas como o enunciado pediu o módulo, entregamos o valor positivo acima.

Resposta

2{,}1\times10^{17}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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