-22 Um elétron é liberado a partir do repouso a uma distância perpendicular de
de uma barra năo condutora retilínea muito longa com uma densidade de cargas uniforme de
por metro. Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron?
Passo 1
O que o problema pede: qual é o módulo da aceleração inicial de um elétron liberado do repouso a uma distância perpendicular de
de uma barra não condutora retilínea muito longa com densidade de carga uniforme de
.
Dados fornecidos (escritos em símbolos que usaremos):
O que se pede: o módulo da aceleração inicial
do elétron.
Passo 2
Qual campo elétrico produzido por uma barra linear muito longa e com densidade
? Explicação física passo a passo (Gauss e sim): para uma linha infinita de carga, usamos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
. A ideia é: a simetria faz com que o campo elétrico tenha sempre a mesma magnitude
perpendicular à linha e uniforme sobre a superfície lateral do cilindro. Aplicando a Lei de Gauss,
Aqui, o fluxo atravessa apenas a superfície lateral (as tampas não contribuem porque
é radial), então
Cancelando
e isolando
obtemos a fórmula padrão (guarde essa fórmula na prova!):
Explicação das letras:
= densidade de carga linear (C/m),
= permissividade do vácuo (F/m),
= distância perpendicular ao fio (m). O campo aponta radialmente para fora se
e para dentro se
; aqui só precisamos do módulo.
Passo 3
Como o campo gera aceleração no elétron? Força elétrica sobre uma carga
é
Para o elétron
(com
o módulo da carga elementar). Usando a segunda lei de Newton,
Pedem o módulo da aceleração, então
Constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
Passo 4
Calcular numericamente o campo
. Usando
substituindo
e
:
Vamos avaliar passo a passo (aproximações controladas):
Logo
Passo 5
Calcular a força sobre o elétron (módulo):
Fazendo a conta,
Passo 6
Calcular a aceleração usando
:
Fazendo a divisão,
Comentário didático: esse número é enorme — elétrons são muito leves, então mesmo forças muito pequenas geram acelerações muito grandes. A direção da aceleração é para a linha (porque a linha tem carga positiva e o elétron é negativo), mas como o enunciado pediu o módulo, entregamos o valor positivo acima.