11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x +infty(e^x+x)^2 / x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limx+inftyl(e^x+xr)^2/x
usando as regras de L’Hospital. Aqui vamos precisar de propriedades de logaritmo para transformar a potência em quociente e, em seguida, aplicar L’Hospital.

Passo 2

Definimos
y = l(e^x+xr)^2/x
para estudar o limite de y. Como é difícil lidar diretamente com potência variável, tomamos o logaritmo natural:
ln y = 2x,lnl(e^x+xr)

Passo 3

Queremos
limxto+inftyln y =limxto+infty2,lnl(e^x+xr)x
Note que para xto+infty o numerador e o denominador tendem a +infty, caracterizando forma indeterminada infty/infty. Podemos, então, usar L’Hospital.

Passo 4

Pela regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddxl[2,ln(e^x+x)r] =2,e^x+1,e^x+x,, ddx[x]=1
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limxto+inftyln y = limxto+infty2,ln(e^x+x)x =2,limxto+inftye^x+1e^x+x =2cdot1 =2

Passo 5

Como ln yto2, temos
y = exp(ln y)longrightarrow e^2

Resposta

limx+inftyl(e^x+xr)^2/x = e^2

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