11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x 1(1-x) cdot tg(pi x2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1(1-x),tan!l(pi x2r)
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é limite de uma forma indeterminada do tipo 0cdotinfty. Para aplicar L’Hospital, primeiro vamos reescrever esse produto como quociente.

Passo 2

Observe que, quando xto1, temos 1-xto0 e tanl(tfracpi x2r)totanl(tfracpi2r)=infty. Então o produto é 0cdotinfty. Reescrevemos
(1-x),tan!l(pi x2r) =tan!l(tfracpi x2r)tfrac11-x,
onde ao aproximar xto1 tanto o numerador como o denominador vão a infty, gerando a forma tfracinftyinfty.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
ddxtan!l(tfracpi x2r) =sec^2!l(tfracpi x2r)cdotpi2
– Denominador:
ddxl(tfrac11-xr) =ddx(1-x)^-1 =-1cdot(1-x)^-2cdot(-1) =(1-x)^-2
Pelo L’Hospital, o limite original vale o mesmo que
limxto1 sec^2!l(tfracpi x2r),tfracpi2 (1-x)^-2 =limxto1pi2,(1-x)^2,sec^2!l(tfracpi x2r)

Passo 4

Para avaliar
limxto1(1-x)^2,sec^2!l(tfracpi x2r),
usamos a expansão de cos perto de tfracpi2. Escrevendo h=x-1, com hto0, temos
cos!l(tfracpi x2r) =cos!l(tfracpi2+tfracpi h2r) =-sin!l(tfracpi h2r) approx -pi h2,
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sec^2!l(tfracpi x2r) =1cos^2(cdot) approx 1(tfracpi h2)^2 =4pi^2,h^2
Como (1-x)^2=h^2, segue
limxto1(1-x)^2,sec^2!l(tfracpi x2r) =limhto0h^2cdot4pi^2,h^2 =4pi^2
Multiplicando pelo tfracpi2 do passo anterior, obtemos
pi2,4pi^2 =42pi =2pi

Resposta

2pi

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