11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x pi / 2^-(tg x)^sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtopi/2^-(tan x)^sin2x.
Note que tan xto+infty e sin2xto0, caracterizando a forma indeterminada infty^0. Vamos usar L’Hôpital no expoente após escrever a potência como exponencial.

Passo 2

Reescrevemos a função como
(tan x)^sin2x = expl(sin2xcdot ln(tan x)r)
Assim, basta calcular
L = limxtopi/2^-sin2x;ln(tan x),
pois o limite original será exp(L).

Passo 3

Como sin2xto0 e ln(tan x)to+infty, o produto é da forma 0cdotinfty. Para aplicar L’Hôpital, colocamos na forma de quociente:
L = limxtopi/2^-ln(tan x)csc2x,
já que csc2x=1/sin2x, transformando em infty/infty.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador:
a)
ddxln(tan x) = sec^2 xtan x = 1/cos^2 xsin x/cos x = 1sin x,cos x = 2sin2x
b)
ddxcsc2x = -csc2x;cot2x;cdot2 = -2,csc2x,cot2x

Passo 5

Pelo critério de L’Hôpital:
L = limxtopi/2^- 2sin2x -2,csc2x,cot2x = limxtopi/2^- -sin2xcos2x = -tan2x
Quando xtopi/2^-, 2xtopi^- e tan2xto0. Logo L=0.

Passo 6

Retornando à exponencial,
limxtopi/2^-(tan x)^sin2x = exp(L) = e^0 = 1

Resposta

1

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