Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Esse é um limite do tipo
. Vamos usar a transformação logarítmica para tirar a potência e, em seguida, aplicar a Regra de L’Hospital para resolver a indeterminação.
Passo 2
Definimos
e estudamos o expoente pelo logaritmo:
Se conseguirmos esse limite, então
.
Passo 3
Note que quando
temos
, logo
. Então a forma é
e podemos aplicar L’Hospital diferenciando numerador e denominador.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
– Derivada do numerador é
– Derivada do numerador
– Derivada do denominador
é
.
Pela Regra de L’Hospital,
Pela Regra de L’Hospital,
Passo 5
Avaliaremos a expressão no ponto
:
Logo
, de onde
.