11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x 0^+(1+sen x)^2 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+(1+sin x)^2/x
Esse é um limite do tipo 1^infty. Vamos usar a transformação logarítmica para tirar a potência e, em seguida, aplicar a Regra de L’Hospital para resolver a indeterminação.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+(1+sin x)^2/x
e estudamos o expoente pelo logaritmo:
ln L = limxto0^+2x,lnl(1+sin xr)
Se conseguirmos esse limite, então L = e^ln L.

Passo 3

Note que quando xto0 temos sin xto0, logo ln(1+sin x)to0. Então a forma é
2,ln(1+sin x)xlongrightarrow00,
e podemos aplicar L’Hospital diferenciando numerador e denominador.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
– Derivada do numerador 2,ln(1+sin x) é
2cdot11+sin xcdotcos x
– Derivada do denominador x é 1.
Pela Regra de L’Hospital,
ln L = limxto02,ln(1+sin x)x = limxto02cdotcos x1+sin x

Passo 5

Avaliaremos a expressão no ponto x=0:
limxto02cdotcos x1+sin x =2cdotcos01+sin0 =2cdot11+0 =2
Logo ln L = 2, de onde L = e^2.

Resposta

limxto0^+(1+sin x)^2/x = e^2

Exercícios relacionados