11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x 1 / 2^- ln (1-2 x)tg(pi x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto12^-ln(1-2x)tan(pi x),
usando a regra de L’H^opital para indetermina\c{c}~oes do tipo infty/infty.

Passo 2

Ao aproximar xto12^-, temos
1-2xto0^+,ln(1-2x)to-infty,
e
tan(pi x)totanl(tfracpi2^-r)=+infty
Logo a forma -infty/infty , equivalente a infty/infty , e podemos aplicar L’H^opital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
ddxln(1-2x)=-21-2x, ddxtan(pi x)=pisec^2(pi x)
Pela regra de L’H^opital,
limxto12^-ln(1-2x)tan(pi x) = limxto12^--2/(1-2x)pisec^2(pi x) =-2pi, limxto12^-1(1-2x)sec^2(pi x)

Passo 4

Para avaliar
limxto12^-(1-2x)sec^2(pi x), faça
h=tfrac12-x;to0^+
Então 1-2x=2h e
sec^2(pi x) =1cos^2(pi/2-pi h) =1sin^2(pi h)
Logo
(1-2x)sec^2(pi x) =2hcdot1sin^2(pi h) sim2hcdot1(pi h)^2 =2pi^2hto+infty,
o que implica
1(1-2x)sec^2(pi x)to0
Substituindo de volta,
-2picdot0=0

Resposta

0

Exercícios relacionados