Calcule os limites
lim (x, y) (1,1) cos (raiz[3]|x y|-1)

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(1,1) cosl(raiz[3]lvert x,yrvert - 1r)
Estamos em limites de funções de duas variáveis e vamos usar a continuidade e a composição de funções: produto, valor absoluto, raiz cúbica e cosseno.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=lvert x,yrvert -1
Como produto e valor absoluto são funções contínuas, ao termos (x,y)to(1,1) vale
x,yto 1,, lvert x,yrvert to 1 Longrightarrow g(x,y)to 1-1 = 0

Passo 3

Considere agora
h(t)=raiz[3]t
A raiz cúbica é contínua em todo R. Logo, pela continuidade,
g(x,y)to 0 Longrightarrow hl(g(x,y)r)to h(0)=0

Passo 4

Por fim, a função
cos(u)
é contínua em todo u. Assim, aplicando continuidade mais uma vez,
u=hl(g(x,y)r)to 0 Longrightarrow cosl(ur)to cos(0)=1

Resposta

1

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