11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x -1 raiz[3]1+2 x+1x+raiz2+x

Passo 1

O enunciado pede
limxto -1raiz[3]1+2x+1x+raiz2+x
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limites que geram a forma indeterminada tfrac00 e vamos precisar das derivadas de funções do tipo raiz cúbica e raiz quadrada.

Passo 2

Substituindo x=-1:
raiz[3]1+2(-1)+1 = raiz[3]-1+1 = -1+1 = 0,
-1 + raiz2+(-1) = -1 + 1 = 0
Portanto obtemos a forma indeterminada 00, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador separadamente.
Para o numerador:
ddxl(raiz[3]1+2x+1r) = ddxraiz[3]1+2x = 13(1+2x)^-tfrac23cdot 2 = 23(1+2x)^-tfrac23
Para o denominador:
ddxl(x+raiz2+xr) = 1 + 12raiz2+x
Pelo teorema de L’Hôpital,
limxto -1raiz[3]1+2x+1x+raiz2+x = limxto -1 tfrac23(1+2x)^-tfrac23,1 + tfrac12raiz2+x,

Passo 4

Avaliamo em x=-1:
1+2(-1)=-1Longrightarrow(1+2x)^-tfrac23|x=-1=(-1)^-tfrac23=1,
raiz2+(-1)=1Longrightarrow 1+12cdot1 = 1 + tfrac12 = tfrac32
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tfrac23tfrac32 = 23cdot23 = 49

Resposta

49

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