11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x 0^+ x^(1 / ln x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+x^1/ln x.
O conteúdo principal aqui é o tratamento de formas indeterminadas do tipo 0^0 usando logaritmo e, em seguida, aplicação da regra de L’Hospital.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+x^1/ln x
Como a base x^1/ln x é positiva para x>0, podemos tomar o logaritmo natural e trocar o limite de potências por limite de soma/razão. Assim,
ln L = limxto0^+lnl(x^1/ln xr) = limxto0^+1ln x,ln x = limxto0^+ln xln x

Passo 3

O quociente
ln xln x
é da forma tfrac-infty-infty quando xto0^+, então aplicamos a regra de L’Hospital:
limxto0^+ln xln x = limxto0^+ddx(ln x)ddx(ln x) = limxto0^+tfrac1xtfrac1x = 1

Passo 4

Encontramos ln L = 1. Logo
L = e^1 = e

Resposta

e

Exercícios relacionados