11^ a Questão) A distância entre duas estações de metrô é 1300 m . Se um trem acelera a +1,3 m / s^2 a partir do repouso na primeira metade da distância e desacelera a -1,3 m / s^2 na segunda metade, responda:
(a) Qual é o tempo de percurso entre as estações?
(b) Qual é a velocidade máxima do trem?
(c) Desenhe os gráficos de x, v, e a em função de t para o percurso entre as duas estações.

Passo 1

O enunciado diz que a distância total entre as estações é de 1300 m. O trem parte do repouso e acelera com a=+1,3,m/s ^2 até percorrer a metade da distância ( 650 m), e a seguir desacelera com a=-1,3,m/s ^2 nos 650 m finais, até parar na segunda estação. Precisamos achar (a) o tempo total de percurso, (b) a velocidade máxima atingida no ponto médio, e (c) desenhar os gráficos de x(t), v(t) e a(t).

Passo 2

Na fase de aceleração, para ir de x=0 a x=650 m partindo do repouso, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
s = 12,a,t1^2
Aqui s=650 m e a=1,3 m/s ^2, logo
650 = 12 times 1,3 times t1^2 Longrightarrow t1^2 = 2cdot6501,3 = 1000 Longrightarrow t1 = raiz1000approx31,62 s

Passo 3

Como a desaceleração é simétrica (mesma magnitude de a e mesma distância), o tempo de desaceleração é igual a t1. Portanto o tempo total é
trm total = 2,t1 = 2times31,62approx63,25 s

Passo 4

A velocidade máxima é atingida ao fim da fase de aceleração e vale
vmax = a,t1 = 1,3 times 31,62 approx 41,11 m/s

Passo 5

As funções de espaço, velocidade e aceleração são, em cada fase, dadas por:
Para 0 <= t <= t1:
a(t)=+1,3, v(t)=1,3,t, x(t)=tfrac12,(1,3),t^2
Para t1 <= t <= 2,t1:
a(t)=-1,3, v(t)=vmax-1,3,(t-t1) ;=;41,11 -1,3,(t-31,62),
x(t)=650 + 41,11,(t-t1) -tfrac12,(1,3),(t-t1)^2
Gráficos qualitativos:
  • x(t): curva côncava para cima de 0 a t1, depois côncava para baixo até 2t1, sempre crescente de 0 a 1300 m.
  • v(t): reta de inclinação +1,3 de 0 a 31,62 s (vai de 0 a 41,11 m/s), depois reta de inclinação -1,3 até 63,25 s (vai de 41,11 a 0 m/s).
  • a(t): função degrau, valendo +1,3 m/s ^2 para 0<= t<t1 e -1,3 m/s ^2 para t1<t<=2t1.

Resposta

(a) trm totalapprox63,25 s.
(b) vmaxapprox41,11 m/s.
(c) Gráficos de x(t), v(t) e a(t) conforme descrito no passo anterior.

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