Duas fontes sonoras idênticas têm a freqüência de 500 Hz . As coordenadas das fontes são (0,1) m e(0,-1) m. Um detector, a 80 m da origem, pode descrever um círculo, no plano x y, com o raio de 80 m . O primeiro máximo de intensidade do som é percebido quando o detector está a (80,0) m. (a) Achar as coordenadas do detector para os cinco primeiros máximos, na ordem dos valores positivos decrescentes de x. (b) Achar as coordenadas dos quatro primeiros mínimos na ordem de valores positivos decrescentes de x, com a restrição raizx^2+y^2=80 m.

Passo 1

Temos duas fontes sonoras iguais em (0,1) m e (0,-1) m emitindo a f=500 Hz. O detector move-se no círculo
x^2+y^2=80^2
e registra máximos de intensidade quando a diferença de caminho
De<a=r2-r1=m,lambda, m=0,1,2,dots
e mínimos quando
De<a=(m+tfrac12),lambda, m=0,1,2,dots
Vamos achar lambda, expressar De<a em termos de (x,y) e resolver para os primeiros máximos e mínimos com x>0.

Passo 2

Assumindo a velocidade do som em ar c=340 m/s, a onda tem comprimento de onda
lambda=cf=340500=0,68 m

Passo 3

Seja r1=raizx^2+(y-1)^2 e r2=raizx^2+(y+1)^2. Então
De<a=r2-r1

Passo 4

Como x^2+y^2=80^2 e 80gg1, usamos expansão de binômio para
r2=raizB+2y, r1=raizB-2y, B=80^2+1+y^2,
de onde, até primeira ordem em y,
De<aapprox(B+2y)-(B-2y)2raizBapprox2y80=y40

Passo 5

Para máximos De<a=mlambdaRightarrow ym=40,mlambda. Calculamos então
ym=40,mcdot0,68=27,2,mcdot m,
xm=raiz80^2-ym^2
Para m=0,1,2 obtemos:
  • m=0: ;y0=0, ;x0=80.
  • m=1: ;y1=27,2, ;x1=raiz6400-27,2^2approx75,24.
  • m=2: ;y2=54,4, ;x2=raiz6400-54,4^2approx58,65.
    Cada m>0 gera dois pontos com y=pm ym. Assim, os cinco primeiros máximos com x>0 e em ordem de x decrescente são:
(80,0),(75,24,,27,2),(75,24,,-27,2),(58,65,,54,4),(58,65,,-54,4)

Passo 6

Para mínimos De<a=(m+tfrac12)lambdaRightarrow ym=40,(m+tfrac12)lambda. Então:
  • m=0: y0=40cdot0,5cdot0,68=13,6,
    ;x0=raiz6400-13,6^2approx78,85.
  • m=1: y1=40cdot1,5cdot0,68=40,8,
    ;x1=raiz6400-40,8^2approx68,82.
    Cada caso dá dois pontos (x,pm y). Os quatro primeiros mínimos com x>0 e em ordem de x decrescente são:
(78,85,,13,6),(78,85,,-13,6),(68,82,,40,8),(68,82,,-40,8)

Resposta

(a) Máximos:
(80,0),;(75,24,,27,2),;(75,24,,-27,2),;(58,65,,54,4),;(58,65,,-54,4).
(b) Mínimos:
(78,85,,13,6),;(78,85,,-13,6),;(68,82,,40,8),;(68,82,,-40,8).

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