Uma grande mola helicoidal está esticada até o comprimento
. A sua constante é
e a sua massa
. (a) Mostrar que a velocidade das ondas longitudinais de compressão na mola é
. (b) Mostrar que esta é também a velocidade das ondas transversais na mola quando o seu comprimento natural (sem estar esticada) for muito menor que
.
Passo 1
O enunciado trata de ondas que se propagam numa mola helicoidal de massa
, constante elástica
e esticada até o comprimento
. O conteúdo principal é a equação de onda em meios contínuos, em que a velocidade de propagação
satisfaz
Para resolver precisamos:
- Determinar a tensão
na mola esticada até . - Escrever a densidade linear de massa
. - Aplicar a derivação da equação de onda para ondas longitudinais e transversais.
Passo 2
Ondas longitudinais: tome um pequeno elemento de mola de comprimento
e massa
. A força restauradora que mantém a mola esticada é
pois ela foi alongada de seu comprimento natural (que, na prática, tomamos como referência zero) até
. Pela segunda lei de Newton, a perturbação longitudinal
satisfaz
Dividindo por
e por
, obtemos a equação de onda padrão.
Passo 3
Na equação de onda surge diretamente a velocidade
onde
. Substituindo
e
vem
Passo 4
Ondas transversais: seja
o deslocamento perpendicular ao eixo da mola. Para pequenos desníveis, as componentes horizontais da tensão
exercidas nas extremidades de um elemento de comprimento
dão
o que gera novamente a equação de onda com
Passo 5
Quando o comprimento natural da mola é muito menor que
, temos tensão aproximadamente
e densidade
. Logo, para ondas transversais também
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)