Uma grande mola helicoidal está esticada até o comprimento L. A sua constante é k e a sua massa m. (a) Mostrar que a velocidade das ondas longitudinais de compressão na mola é v=L raizk / m. (b) Mostrar que esta é também a velocidade das ondas transversais na mola quando o seu comprimento natural (sem estar esticada) for muito menor que L.

Passo 1

O enunciado trata de ondas que se propagam numa mola helicoidal de massa m, constante elástica k e esticada até o comprimento L. O conteúdo principal é a equação de onda em meios contínuos, em que a velocidade de propagação v satisfaz
v = raiztensãodensidade linear de massa, ã
Para resolver precisamos:
  • Determinar a tensão F na mola esticada até L.
  • Escrever a densidade linear de massa mu = m/L.
  • Aplicar a derivação da equação de onda para ondas longitudinais e transversais.

Passo 2

Ondas longitudinais: tome um pequeno elemento de mola de comprimento dx e massa dm = (m/L),dx. A força restauradora que mantém a mola esticada é
F = k,L,
pois ela foi alongada de seu comprimento natural (que, na prática, tomamos como referência zero) até L. Pela segunda lei de Newton, a perturbação longitudinal u(x,t) satisfaz
dm,partial^2 upartial t^2 ;=; F,partial^2 upartial x^2,dx
Dividindo por dx e por dm, obtemos a equação de onda padrão.

Passo 3

Na equação de onda surge diretamente a velocidade
v = raizFmu
onde mu = m/L. Substituindo F = k,L e mu = m/L vem
v = raizk,Lm/L = L,raizkm

Passo 4

Ondas transversais: seja y(x,t) o deslocamento perpendicular ao eixo da mola. Para pequenos desníveis, as componentes horizontais da tensão T=F exercidas nas extremidades de um elemento de comprimento dx dão
dm,partial^2 ypartial t^2 = T,partial^2 ypartial x^2,dx,
o que gera novamente a equação de onda com
v = raizTmu

Passo 5

Quando o comprimento natural da mola é muito menor que L, temos tensão aproximadamente T = k,L e densidade mu = m/L. Logo, para ondas transversais também
v = raizk,Lm/L = L,raizkm

Resposta

(a) v = L,raizkm.
(b) v = L,raizkm.

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