11ㅡ Questão:

Uma partícula se movimenta ao longo da curva \mathbf{r}(t)=\sqrt{t} \mathbf{i}+\sqrt{t^{3}} \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k},(0 \leq t \leq 1). Se ao longo dessa trajetória ela estiver sendo submetida a um campo de forças do tipo \mathbf{F}(x, y, z)=z y \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+y x \mathbf{k}, encontre o trabalho total realizado por essa força, em todo o percurso.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\sqrt{t}\,\mathbf{i}+t^{3/2}\,\mathbf{j}+t^2\,\mathbf{k},\quad 0\le t\le1
e o campo de forças
\mathbf{F}(x,y,z)=zy\,\mathbf{i}+xz\,\mathbf{j}+yx\,\mathbf{k}.
Queremos o trabalho
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
ou seja, a integral de linha de \mathbf{F} ao longo da curva.

Passo 2

Calculamos \mathbf{r}'(t) e escrevemos d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{t}\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}\bigr)\,\mathbf{j} +\frac{d}{dt}\bigl(t^2\bigr)\,\mathbf{k} =\frac{1}{2}t^{-1/2}\,\mathbf{i}+\frac{3}{2}t^{1/2}\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}.

Passo 3

Substituímos x=t^{1/2}, y=t^{3/2}, z=t^2 em \mathbf{F} para obter
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =(t^2\cdot t^{3/2})\,\mathbf{i}+(t^{1/2}\cdot t^2)\,\mathbf{j}+(t^{3/2}\cdot t^{1/2})\,\mathbf{k} =t^{7/2}\,\mathbf{i}+t^{5/2}\,\mathbf{j}+t^2\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =t^{7/2}\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2} +t^{5/2}\cdot\frac{3}{2}t^{1/2} +t^2\cdot2t =\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t^3+2t^3 =4t^3.

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
W=\int_0^1 4t^3\,dt =4\cdot\frac{1}{4} =1.

Resposta

O trabalho total realizado pela força é 1.

Exercícios relacionados