13^{\underline{a}} Questão:

No plano x y, calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x, y)=\left(x+y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(y+x^{2}\right) \mathbf{j} sobre uma partícula que se move em linha reta do ponto A(0,0) ao ponto B(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho do campo de forças
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(x + y^2\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(y + x^2\bigr)\,\mathbf{j}
ao longo da reta de A=(0,0) até B=(1,1).
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial não conservativo.

Passo 2

Primeiro verificamos se \mathbf{F} é conservativo, comparando
\partial P/\partial y com \partial Q/\partial x, onde
P(x,y)=x+y^2 e Q(x,y)=y+x^2.
\frac{\partial P}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x.
Como 2y\neq2x em geral, \mathbf{F} não é conservativo. Logo usamos parametrização.

Passo 3

Parametrizamos a reta de A a B por
\mathbf{r}(t) = (t,\,t),\quad t\in[0,1].
Então
\mathbf{r}'(t) = (1,1) e
\mathrm{d}\mathbf{r} = (1,1)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Substituindo na integral de linha, temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(t + t^2,\;t + t^2\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = (t + t^2)\cdot1 + (t + t^2)\cdot1 = 2t + 2t^2.
Portanto o trabalho é
W = \int_{0}^{1}\bigl(2t + 2t^2\bigr)\,\mathrm{d}t = \left[t^2 + \tfrac{2}{3}t^3\right]_{0}^{1} = 1 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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