12^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:

Uma partícula se movimenta em linha reta da origem ao ponto Q(1,1,0), e ao longo dessa trajetória está submetida a um campo de força do tipo \mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}-z y\right) \mathbf{i}+ \left(z^{2}-x y\right) \mathbf{j}+\left(y^{2}-x z\right) \mathbf{k}. Encontre o trabalho total realizado por essa força, em todo o percurso.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por \mathbf{F}(x,y,z)=(x^2-zy)\,\mathbf{i}+(z^2-xy)\,\mathbf{j}+(y^2-xz)\,\mathbf{k} ao longo do segmento de reta de O(0,0,0) a Q(1,1,0). O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, em que
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\,.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
\mathbf{r}(t)=(t,\;t,\;0)\,,\quad t\in[0,1],
de modo que
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(1,\,1,\,0)\,dt.

Passo 3

Substituindo \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}, obtemos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(t^2-0,\;0-t\,t,\;t^2- t\cdot0\bigr) =(t^2,\,-t^2,\;t^2).

Passo 4

O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =t^2\cdot1+(-t^2)\cdot1+t^2\cdot0 =0.

Passo 5

Portanto, o trabalho é
W=\int_0^1 0\,dt=0.

Resposta

O trabalho total realizado é 0.

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