10ㅡㄹ Questão:

Um fio na forma da curva espacial \mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+t \mathbf{k},(0 \leq t \leq \pi) é eletrizado e fica com uma densidade linear de carga \delta(x, y, z)=\operatorname{sen} z. Calcule a carga total nesse fio.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio descrito pela curva
\mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}, \quad 0\le t\le\pi,
com densidade linear de carga
\delta(x,y,z)=\sin z.
Para obter a carga total Q precisamos usar a integral de linha de densidade:
Q=\int_C\delta\,ds.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização e seu módulo.
\mathbf{r}'(t) =(\cos t)\,\mathbf{i}+(-\sin t)\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k},
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{\cos^2t+\sin^2t+1} =\sqrt{2}.

Passo 3

Expressar \delta ao longo da curva e montar a integral. Como em cada ponto z=t, temos \delta(\mathbf{r}(t))=\sin t, e ds=\|\mathbf{r}'(t)\|dt=\sqrt{2}\,dt. Logo
Q=\int_{0}^{\pi}\sin t\;\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.

Passo 4

Avaliar a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt =[-\cos t]_{0}^{\pi} =-\cos\pi-(-\cos0) =-(-1)-(-1) =2.
Logo
Q=\sqrt{2}\times2=2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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