11 Em R^4, seja W=span(1,1,1,1),(1,-1,0,1),(2,1,0,1). Ache a projeção ortonal de v=(1,-3,4,5) sobre W.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de sobre o subespaço
O conteúdo envolve projeção ortogonal em espaços com dimensão maior, e vamos usar o procedimento de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal de e em seguida calcular

Passo 2

Aplicamos Gram–Schmidt aos vetores w1,w2,w3:
  1. Tomamos
    u1 = w1|w1| = (1,1,1,1)2 = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r)
  2. Definimos
    v2 = w2 - lang<= w2,u1rang<=,u1, lang<= w2,u1rang<= = 1-1+0+12 = 12,
    logo
    v2 = (1,-1,0,1)-tfrac12l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r) = l(tfrac34,-tfrac54,-tfrac14,tfrac34r),
    e então
    u2 = v2|v2| = 1raiz11/2,v2 = l(tfrac32raiz11,-tfrac52raiz11,-tfrac12raiz11,tfrac32raiz11r)
  3. Para w3, primeiro subtraímos a projeção em u1:
    w3' = w3 - lang<= w3,u1rang<=,u1, lang<= w3,u1rang<= = 2+1+0+12 = 2,
w3' = (2,1,0,1)-2l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r) = (1,0,-1,0)
Depois subtraímos a projeção em u2:
lang<= w3',u2rang<= = 1cdot3 +0cdot(-5) +(-1)cdot(-1) +0cdot32raiz11 = 2raiz11,
v3 = w3' - 2raiz11,u2 = l(tfrac811,tfrac511,-tfrac1011,-tfrac311r),
e então
u3 = v3|v3|

Passo 3

Calculamos os coeficientes de projeção :
  1. Usamos a forma
    :

Passo 4

A projeção é
e, somando e simplificando coordenada a coordenada, obtemos

Resposta

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