Seja V=Pn(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de V.
W é o conjunto dos polinômios de grau par menor ou igual a n

Passo 1

O enunciado define
V = Pn(R), o espaço dos polinômios de grau <= n, e
W = ,pin V mid deg(p) é paré.
Para ser subespaço vetorial, W deve satisfazer três propriedades:
1. conter o polinômio zero;
2. ser fechado sob soma;
3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero está em W.
O polinômio zero tem grau indefinido (ou escolhe-se deg(0)=-infty), que não é par.
Logo,
0 notin W

Passo 3

Mesmo sem essa primeira propriedade já falhamos, mas vamos ilustrar também a falta de fechadura sob adição.
Considere
p(x)=x^2, q(x)=-x^2
Temos deg(p)=2 e deg(q)=2, ambos pares, então p,qin W.
Mas
p(x)+q(x)=0notin W
Portanto W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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