Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de
.
é o conjunto dos polinômios de grau par menor ou igual a
Passo 1
O enunciado define
, o espaço dos polinômios de grau
, e
.
Para ser subespaço vetorial, deve satisfazer três propriedades:
. conter o polinômio zero;
. ser fechado sob soma;
. ser fechado sob multiplicação por escalar.
Para ser subespaço vetorial,
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero está em
.
O polinômio zero tem grau indefinido (ou escolhe-se ), que não é par.
Logo,
O polinômio zero tem grau indefinido (ou escolhe-se
Logo,
Passo 3
Mesmo sem essa primeira propriedade já falhamos, mas vamos ilustrar também a falta de fechadura sob adição.
Considere
Considere
Temos
e
, ambos pares, então
.
Mas
Mas
Portanto
não é fechado sob soma.