Encontre uma base para V=R^4 que contenha os vetores (1,3,8,5),(1,1,4,2).

Passo 1

O problema pede para encontrar uma base de R^4 que já contenha os vetores
,(1,3,8,5) e (1,1,4,2).
O conteúdo é extensão de um conjunto de vetores linearmente independentes até uma base de um espaço de dimensão 4.

Passo 2

Primeiro, verificamos que
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem , os dois vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como já temos 2 vetores independentes em R^4, basta escolher mais 2 vetores que não fiquem no subespaço gerado pelos dois dados. Uma escolha fácil é usar os vetores padrão
(0,0,1,0) e (0,0,0,1), pois claramente eles não podem ser combinados pelos dois primeiros.

Passo 4

Precisamos checar que os quatro vetores
v1=(1,3,8,5), v2=(1,1,4,2), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1)
são independentes. Considere a matriz cujas colunas são esses vetores:
M = 1 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 & 0 8 & 4 & 1 & 0 5 & 2 & 0 & 1
Expandindo em relação à 4ª coluna (que só tem um 1 em (4,4)), temos
det(M) =underbrace(-1)^4+4=1cdot1cdot det 1 & 1 & 0 3 & 1 & 0 8 & 4 & 1 =det 1 & 1 3 & 1 cdot1 =1cdot1-3cdot1=-2neq0
Como o determinante é não nulo, esses quatro vetores formam uma base de R^4.

Resposta

Uma possível base de R^4 que contém (1,3,8,5) e (1,1,4,2) é
l(1,3,8,5),;(1,1,4,2),;(0,0,1,0),;(0,0,0,1)r

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