Seja V=P4(K). Encontre uma base para V que contenha os vetores 1+2 x+ 3 x^2-x^4, 1-3 x^2+x^3-x^4.

Passo 1

O espaço V=P4(K) tem dimensão 5. O enunciado pede uma base de V que contenha os dois vetores
p1=1+2x+3x^2-x^4 e p2=1-3x^2+x^3-x^4
Como uma base de V precisa de 5 vetores, basta estender p1,p2 com mais 3 vetores linearmente independentes a eles.

Passo 2

Escolhemos completar com os monômios 1,x,x^2. Vamos verificar que
p1,p2,1,x,x^2
é um conjunto linearmente independente. Suponha que existam escalares a,b,c,d,ein K tais que
a,p1+b,p2+ccdot1+d,x+e,x^2=0
é o polinômio nulo.

Passo 3

Escrevendo o lado esquerdo em potências de x e igualando coeficientes ao polinômio zero, obtemos:
coeficiente de x^4:
-a-b=0
coeficiente de x^3:
b=0
coeficiente de x^2:
3a-3b+e=0
coeficiente de x^1:
2a+d=0
coeficiente de x^0:
a+b+c=0
Da segunda equação vem b=0, da primeira a=0. Substituindo em todas as demais segue d=e=c=0. Logo só há a solução trivial, e os cinco vetores são independentes.

Resposta

Uma base de P4(K) que contém os vetores dados é, por exemplo,
,1+2x+3x^2-x^4,;1-3x^2+x^3-x^4,;1,;x,;x^2

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