Seja
. Encontre uma base para
que contenha os vetores
.
Passo 1
O espaço
tem dimensão
. O enunciado pede uma base de
que contenha os dois vetores
Como uma base de
precisa de
vetores, basta estender
com mais
vetores linearmente independentes a eles.
Passo 2
Escolhemos completar com os monômios
. Vamos verificar que
é um conjunto linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
é o polinômio nulo.
Passo 3
Escrevendo o lado esquerdo em potências de
e igualando coeficientes ao polinômio zero, obtemos:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
Da segunda equação vem
, da primeira
. Substituindo em todas as demais segue
. Logo só há a solução trivial, e os cinco vetores são independentes.
Resposta
Uma base de
que contém os vetores dados é, por exemplo,