(11) Um resultado bastante utilizado é que, para
grande o bastante,
é muito maior que
(o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e
é muito menor que
(o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
,
Informações dadas e objetivo claro:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - Queremos mostrar que a razão cresce sem limite quando
, isto é, que fica arbitrariamente grande.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada passo a passo): aplicar o Teorema de L’Hôpital repetidas vezes. Antes, uma recapitulação didática do teorema e das suas condições, para que não haja dúvida.
- Teorema de L’Hôpital (caso relevante aqui): se
e são diferenciáveis numa vizinhança de (salvo possivelmente num conjunto finito), e se então, se existir o limite vale - Em palavras: quando temos a forma indeterminada
, podemos substituir as funções pelas suas derivadas para avaliar o limite (desde que as hipóteses sejam satisfeitas). Podemos aplicar o teorema repetidas vezes se, a cada passo, permanecermos na forma indeterminada .
Passo 3
Verificação da forma indeterminada no nosso caso:
- Para
temos e . - Portanto a razão
é da forma , e o Teorema de L’Hôpital pode ser aplicado.
Passo 4
Aplicação de L’Hôpital repetida — primeira aplicação:
- Calcule as derivadas:
- Pelo teorema de L’Hôpital,
- Note que a nova razão ainda é da forma
(pois e ), logo podemos aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 5
Aplicação iterada e fórmula geral por indução:
- Se aplicarmos L’Hôpital
vezes (com ), em cada aplicação o numerador permanece e o denominador vai perdendo um fator de potência de multiplicado por um coeficiente. Após aplicações obtemos - Isso pode ser visto por indução: para
já mostramos. Supondo válido para , ao derivar de novo o denominador obtém-se , que é o fator para .
Passo 6
Escolha
(aplicação
vezes):
- Pondo
na fórmula do passo anterior obtemos - Aqui
é uma constante positiva, e sabemos que . Portanto
Passo 7
Conclusão final (ligando os passos):
- Como aplicar L’Hôpital
vezes preservou a igualdade de limites, e como a última razão tende a , segue-se que a razão original também tende a . Em notação final, - Intuição curta: cada derivada reduz a potência de
no denominador até que reste apenas uma constante; o numerador, sempre , domina e vai a .