(11) Um resultado bastante utilizado é que, para t grande o bastante, e^{t} é muito maior que t^{n}, \forall n \in \mathbb{N} (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e \ln t é muito menor que \sqrt[n]{t} (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{e^{t}}{t^{n}}=+\infty

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N},
\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t^{n}}=+\infty.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função no numerador é e^{t}.
  • A função no denominador é t^{n}.
  • Queremos mostrar que a razão cresce sem limite quando t\to+\infty, isto é, que fica arbitrariamente grande.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada passo a passo): aplicar o Teorema de L’Hôpital repetidas vezes. Antes, uma recapitulação didática do teorema e das suas condições, para que não haja dúvida.
  • Teorema de L’Hôpital (caso relevante aqui): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de +\infty (salvo possivelmente num conjunto finito), e se \lim_{t\to+\infty} f(t) = \lim_{t\to+\infty} g(t) = +\infty,então, se existir o limite \lim_{t\to+\infty} \frac{f'(t)}{g'(t)} = L \in [-\infty,+\infty],vale \lim_{t\to+\infty} \frac{f(t)}{g(t)} = L.
  • Em palavras: quando temos a forma indeterminada +\infty/+\infty, podemos substituir as funções pelas suas derivadas para avaliar o limite (desde que as hipóteses sejam satisfeitas). Podemos aplicar o teorema repetidas vezes se, a cada passo, permanecermos na forma indeterminada +\infty/+\infty.

Passo 3

Verificação da forma indeterminada no nosso caso:
  • Para t\to+\infty temos \,e^{t}\to+\infty e \,t^{n}\to+\infty.
  • Portanto a razão \dfrac{e^{t}}{t^{n}} é da forma \dfrac{+\infty}{+\infty}, e o Teorema de L’Hôpital pode ser aplicado.

Passo 4

Aplicação de L’Hôpital repetida — primeira aplicação:
  • Calcule as derivadas: \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, \qquad \frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}.
  • Pelo teorema de L’Hôpital, \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t^{n}} \;=\; \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{n\,t^{\,n-1}}.
  • Note que a nova razão ainda é da forma \dfrac{+\infty}{+\infty} (pois e^{t}\to+\infty e t^{\,n-1}\to+\infty), logo podemos aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 5

Aplicação iterada e fórmula geral por indução:
  • Se aplicarmos L’Hôpital k vezes (com 1\le k\le n), em cada aplicação o numerador permanece e^{t} e o denominador vai perdendo um fator de potência de t multiplicado por um coeficiente. Após k aplicações obtemos \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t^{n}} \;=\; \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{n(n-1)\cdots(n-k+1)\; t^{\,n-k}}.
  • Isso pode ser visto por indução: para k=1 já mostramos. Supondo válido para k, ao derivar de novo o denominador n(n-1)\cdots(n-k+1)\; t^{\,n-k} obtém-se n(n-1)\cdots(n-k+1)\,(n-k)\,t^{\,n-k-1}, que é o fator para k+1.

Passo 6

Escolha k=n (aplicação n vezes):
  • Pondo k=n na fórmula do passo anterior obtemos \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t^{n}} \;=\; \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{n(n-1)\cdots 1\; t^{\,0}} \;=\; \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{n!}.
  • Aqui n! é uma constante positiva, e sabemos que \lim_{t\to+\infty}e^{t}=+\infty. Portanto \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{n!}=+\infty.

Passo 7

Conclusão final (ligando os passos):
  • Como aplicar L’Hôpital n vezes preservou a igualdade de limites, e como a última razão tende a +\infty, segue-se que a razão original também tende a +\infty. Em notação final, \lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t^{n}}=+\infty.
  • Intuição curta: cada derivada reduz a potência de t no denominador até que reste apenas uma constante; o numerador, sempre e^{t}, domina e vai a +\infty.

Resposta

+\infty

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