(9) Seja y=f(x) uma função derivável num intervalo aberto I, com 1 \in I. Suponha que f(1)=1 \mathrm{e} f^{\prime}(x)=x+[f(x)]^{3}, \forall x \in I. Argumente por que f^{\prime \prime}(x) existe para todo x \in I e calcule f^{\prime \prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma função y=f(x) derivável num intervalo aberto I que contém 1.
  • Sabe-se que f(1)=1.
  • Sabe-se também que, para todo x\in I,
f'(x)=x+[f(x)]^{3}.
O que o enunciado pede:
  • Argumentar por que f''(x) existe para todo x\in I.
  • Calcular o valor de f''(1).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para que f''(x) exista é preciso que f'(x) seja diferenciável em cada x\in I. Como f'(x) é dado explicitamente como soma de duas funções, x e [f(x)]^{3}, é suficiente mostrar que cada parcela é diferenciável. A função x\mapsto x é claramente diferenciável; resta tratar a parcela x\mapsto [f(x)]^{3}. Vamos estudar essa parcela e usar o princípio da derivação de composição (o “chain rule”).

Passo 3

Lembrete do que é usado: regra da cadeia (cadeia) — enunciado informal e fórmula. Se uma função f é diferenciável em x e h é diferenciável em u=f(x), então a composição h\circ f é diferenciável em x e
(h\circ f)'(x)=h'\bigl(f(x)\bigr)\,f'(x).
Aqui, tomar h(u)=u^{3}. A função h é diferenciável em todo u e tem derivada
h'(u)=3u^{2}.
Aplicando a regra da cadeia à função x\mapsto [f(x)]^{3}=h(f(x)), obtemos que essa função é diferenciável sempre que f for diferenciável, e sua derivada é
\frac{d}{dx}\bigl([f(x)]^{3}\bigr)=3\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,f'(x).
Explicando em palavras: primeiro diferencia-se a função externa u^{3} em relação a u (dando 3u^{2}) e depois multiplica-se pelo derivado da função interna f(x).

Passo 4

Agora diferenciamos f'(x)=x+[f(x)]^{3}. Como soma de funções diferenciáveis, f' é diferenciável em todo I. Em particular, a segunda derivada existe para todo x\in I e é dada por
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl([f(x)]^{3}\bigr).
Substituindo as derivadas conhecidas:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1,\qquad \frac{d}{dx}\bigl([f(x)]^{3}\bigr)=3\bigl(f(x)\bigr)^{2}f'(x).
Portanto, para todo x\in I,
f''(x)=1+3\bigl(f(x)\bigr)^{2}f'(x).
Isso mostra explicitamente que f''(x) existe em todo I, porque a expressão do lado direito usa apenas f(x) e f'(x), que existem por hipótese.

Passo 5

Agora vamos calcular f''(1). Primeiro precisamos de f'(1). Usando a relação dada para f' e o valor f(1)=1,
f'(1)=1+\bigl(f(1)\bigr)^{3}=1+1^{3}=1+1=2.

Passo 6

Substituir x=1, f(1)=1 e f'(1)=2 na fórmula de f''(x):
f''(1)=1+3\bigl(f(1)\bigr)^{2}f'(1)=1+3\cdot 1^{2}\cdot 2=1+6=7.

Resposta

f''(1)=7

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