(9) Seja
uma função derivável num intervalo aberto
, com
. Suponha que
. Argumente por que
existe para todo
e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma função
derivável num intervalo aberto que contém . - Sabe-se que
. - Sabe-se também que, para todo
,
O que o enunciado pede:
- Argumentar por que
existe para todo . - Calcular o valor de
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para que
exista é preciso que
seja diferenciável em cada
. Como
é dado explicitamente como soma de duas funções,
e
, é suficiente mostrar que cada parcela é diferenciável. A função
é claramente diferenciável; resta tratar a parcela
. Vamos estudar essa parcela e usar o princípio da derivação de composição (o “chain rule”).
Passo 3
Lembrete do que é usado: regra da cadeia (cadeia) — enunciado informal e fórmula. Se uma função
é diferenciável em
e
é diferenciável em
, então a composição
é diferenciável em
e
Aqui, tomar
. A função
é diferenciável em todo
e tem derivada
Aplicando a regra da cadeia à função
, obtemos que essa função é diferenciável sempre que
for diferenciável, e sua derivada é
Explicando em palavras: primeiro diferencia-se a função externa
em relação a
(dando
) e depois multiplica-se pelo derivado da função interna
.
Passo 4
Agora diferenciamos
. Como soma de funções diferenciáveis,
é diferenciável em todo
. Em particular, a segunda derivada existe para todo
e é dada por
Substituindo as derivadas conhecidas:
Portanto, para todo
,
Isso mostra explicitamente que
existe em todo
, porque a expressão do lado direito usa apenas
e
, que existem por hipótese.
Passo 5
Agora vamos calcular
. Primeiro precisamos de
. Usando a relação dada para
e o valor
,
Passo 6
Substituir
,
e
na fórmula de
: