Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4 \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2 \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2}[f(x)+5 g(x)]

Passo 1

O enunciado nos dá, ao aproximar x de 2, os seguintes limites:
\lim_{x\to 2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to 2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\to 2} h(x)=0.
A pergunta específica é encontrar, se existir, o limite
\lim_{x\to 2}\bigl[f(x)+5\,g(x)\bigr].
Lista clara do que foi dado:
  • Os valores dos limites de f, g e h quando x\to 2 (peguei estes números do enunciado).
  • O que se pede: o limite da combinação linear f(x)+5g(x) quando x\to 2.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado de forma simples): existem regras básicas para limites que dizem que, quando os limites de funções individuais existem e são finitos, podemos somar limites e multiplicar por constantes antes de tomar o limite. Em palavras:
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M.
  • Se c é uma constante e \lim_{x\to a} g(x)=M, então
\lim_{x\to a}\bigl(c\,g(x)\bigr)=c\,M.
Essas regras são úteis porque permitem decompor expressões complicadas em peças mais simples cujos limites conhecemos.
Explicando por que essas regras fazem sentido (intuição): quando f(x) se aproxima de L e g(x) se aproxima de M, então f(x)+g(x) deve se aproximar de L+M. Multiplicar por uma constante apenas escala a aproximação.

Passo 3

Prova rigorosa (esqueleto epsilon‑delta) da regra de linearidade para a combinação f(x)+5g(x), para solidificar a ideia:
Queremos mostrar que, se \lim_{x\to 2} f(x)=4 e \lim_{x\to 2} g(x)=-2, então
\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+5g(x)\bigr)=4+5(-2).
Tomemos um \varepsilon>0. Como \lim_{x\to 2} f(x)=4, existe \delta_1>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta_1,
|f(x)-4|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \lim_{x\to 2} g(x)=-2, existe \delta_2>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta_2,
|g(x)-(-2)|<\frac{\varepsilon}{10}.
(Escolhi \dfrac{\varepsilon}{2} e \dfrac{\varepsilon}{10} para controlar os termos depois de multiplicar por 5.)
Agora tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Se 0<|x-2|<\delta então as duas desigualdades acima valem simultaneamente e, portanto,
\begin{aligned} \bigl|\,f(x)+5g(x) -\bigl(4+5(-2)\bigr)\bigr| &=|\,f(x)-4 +5\bigl(g(x)-(-2)\bigr)\,|\\\ &\le |f(x)-4| + 5\,|g(x)-(-2)|\\\ &< \frac{\varepsilon}{2} + 5\cdot\frac{\varepsilon}{10} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{aligned}
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 com a propriedade desejada, logo o limite existe e é 4+5(-2).
(Se quiser decorar: a desigualdade triangular e a linearidade permitem sempre reduzir a prova de uma combinação linear ao caso das funções individuais.)

Passo 4

Aplicando diretamente as regras e os valores fornecidos:
\lim_{x\to 2}\bigl[f(x)+5g(x)\bigr] = \lim_{x\to 2} f(x) + 5\lim_{x\to 2} g(x) = 4 + 5\cdot(-2).

Passo 5

Calcule a conta final:
4 + 5\cdot(-2) = 4 - 10 = -6.

Resposta

-6

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