A pergunta específica é encontrar, se existir, o limite
\lim_{x\to 2}\bigl[f(x)+5\,g(x)\bigr].
Lista clara do que foi dado:
Os valores dos limites de f, g e h quando x\to 2 (peguei estes números do enunciado).
O que se pede: o limite da combinação linear f(x)+5g(x) quando x\to 2.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado de forma simples): existem regras básicas para limites que dizem que, quando os limites de funções individuais existem e são finitos, podemos somar limites e multiplicar por constantes antes de tomar o limite. Em palavras:
Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M.
Se c é uma constante e \lim_{x\to a} g(x)=M, então
\lim_{x\to a}\bigl(c\,g(x)\bigr)=c\,M.
Essas regras são úteis porque permitem decompor expressões complicadas em peças mais simples cujos limites conhecemos.
Explicando por que essas regras fazem sentido (intuição): quando f(x) se aproxima de L e g(x) se aproxima de M, então f(x)+g(x) deve se aproximar de L+M. Multiplicar por uma constante apenas escala a aproximação.
Passo 3
Prova rigorosa (esqueleto epsilon‑delta) da regra de linearidade para a combinação f(x)+5g(x), para solidificar a ideia:
Queremos mostrar que, se \lim_{x\to 2} f(x)=4 e \lim_{x\to 2} g(x)=-2, então
\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+5g(x)\bigr)=4+5(-2).
Tomemos um \varepsilon>0. Como \lim_{x\to 2} f(x)=4, existe \delta_1>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta_1,
|f(x)-4|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \lim_{x\to 2} g(x)=-2, existe \delta_2>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta_2,
|g(x)-(-2)|<\frac{\varepsilon}{10}.
(Escolhi \dfrac{\varepsilon}{2} e \dfrac{\varepsilon}{10} para controlar os termos depois de multiplicar por 5.)
Agora tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Se 0<|x-2|<\delta então as duas desigualdades acima valem simultaneamente e, portanto,
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 com a propriedade desejada, logo o limite existe e é 4+5(-2).
(Se quiser decorar: a desigualdade triangular e a linearidade permitem sempre reduzir a prova de uma combinação linear ao caso das funções individuais.)
Passo 4
Aplicando diretamente as regras e os valores fornecidos: