(2) Use a fórmula para a derivada de funções inversas para provar que (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a derivada de \sqrt{x} é \tfrac{1}{2\sqrt{x}} usando a fórmula de derivada de funções inversas. O conteúdo aqui é derivada de função inversa: se f é bijetora e diferenciável, com inversa f^{-1}, então
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Vamos aplicar isso à função f(x)=x^2 restrita a x>0, cuja inversa é f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=x^2. Como f é diferenciável para x>0, vale
f'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de derivada de inversa com y=x e f^{-1}(x)=\sqrt{x}, temos
(\sqrt{x})' =(f^{-1})'(x) =\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)} =\frac{1}{f'(\sqrt{x})} =\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

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