4.11 - Os seguintes conjuntos de números quânticos na seguinte ordem: n, l, m_{l}, m_{s} estão incorretos para os elétrons que se encontram emparelhados ou desemparelhados em um orbital. Corrija-os assumindo que os valores de n estão corretos.
(c) 3,2,3,+1 / 2,-1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de números quânticos (assumindo que são dois elétrons listados juntos) na ordem n,\,l,\,m_{l},\,m_{s}:
3,\,2,\,3,\;+\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2}.
Pede-se corrigir esse conjunto assumindo que os valores de n estão corretos. Ou seja: n=3 permanece, e é preciso ajustar os demais números quânticos de forma válida para dois elétrons que estejam emparelhados num mesmo orbital (parece ser o caso porque aparecem os dois spins +\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}).

Passo 2

O que significa cada número quântico e quais são as regras básicas (vamos devagar, passo a passo):
  • n é o número quântico principal. É um inteiro positivo: n=1,2,3,\dots. O enunciado já fixou n=3.
  • l é o número quântico azimutal (ou orbital). Ele determina o tipo de orbital ( s,p,d,\dots) e deve satisfazer
l\in\{0,1,\dots,n-1\}.
Para n=3 temos l\in\{0,1,2\}. Portanto l=2 é permitido (corresponde a um orbital do tipo d).

Passo 3

Agora o número quântico magnético m_{l}: ele descreve a orientação do orbital e tem que ser um inteiro dentro do intervalo
m_{l}\in\{-l,\,-l+1,\,\dots,\,0,\,\dots,\,l-1,\,l\}.
Para l=2 isso dá
m_{l}\in\{-2,\,-1,\,0,\,1,\,2\}.
O valor m_{l}=3 fornecido no enunciado é, portanto, inválido porque está fora desse intervalo.

Passo 4

O número quântico de spin m_{s} tem apenas dois valores possíveis para elétrons:
m_{s}=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
Regra importante para dois elétrons ocupando o mesmo orbital: eles devem ter os mesmos n,\,l,\,m_{l} e spins opostos ( +\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}). Isso é o emparelhamento no mesmo orbital (princípio de exclusão de Pauli satisfeito porque os spins são diferentes).

Passo 5

Corrigindo o problema concreto: mantemos n=3 e l=2. Como m_{l}=3 é inválido, devemos escolher um m_{l} que pertença a \{-2,-1,0,1,2\}. Como o enunciado mostra os dois spins +\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}, isso indica que os elétrons estão emparelhados no mesmo orbital, logo ambos devem ter o mesmo m_{l}. Para mudar o mínimo possível o dado errado, escolhemos m_{l}=2 (uma escolha válida; qualquer valor em \{-2,-1,0,1,2\} também seria aceitável). Portanto os dois elétrons corrigidos ficam com os números quânticos:
(3,\,2,\,2,\,+\tfrac{1}{2}) \quad\text{e}\quad (3,\,2,\,2,\,-\tfrac{1}{2}).

Passo 6

Observações finais/justificativas rápidas (para a prova):
  • Sempre verifique se 0\le l\le n-1.
  • Sempre verifique se -l\le m_{l}\le l e m_{l} inteiro.
  • Para dois elétrons no mesmo orbital os três primeiros números quânticos (n,l,m_{l}) são idênticos e apenas m_{s} difere (um +\tfrac{1}{2} e outro -\tfrac{1}{2}).
    Se, por acaso, os elétrons fossem desemparelhados no mesmo subnível l (mas em orbitais diferentes), eles teriam o mesmo n e l mas diferentes m_{l}.

Resposta

(3,\,2,\,2,\,+\tfrac{1}{2})
(3,\,2,\,2,\,-\tfrac{1}{2})

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