4.11 - Os seguintes conjuntos de números quânticos na seguinte ordem: n, l, m_{l}, m_{s} estão incorretos para os elétrons que se encontram emparelhados ou desemparelhados em um orbital. Corrija-os assumindo que os valores de n estão corretos.
(e) 2,1,-1,0

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de números quânticos, na ordem n,\,l,\,m_l,\,m_s: (2,\,1,\,-1,\,0) e pede que corrijamos esse conjunto assumindo que o valor de n está correto. Portanto:
  • Valores fornecidos: n=2, l=1, m_l=-1, m_s=0.
  • O que é pedido: indicar a correção necessária para que o conjunto seja válido para um elétron que esteja desemparelhado num orbital e para elétrons emparelhados num mesmo orbital (mantendo n=2).

Passo 2

Vamos lembrar o que cada número quântico significa e quais são os valores permitidos (essa é a parte que sempre salva na prova — decora os limites!):
  • n (número quântico principal): determina o nível de energia. Pode ser n=1,2,3,\dots. Aqui foi dado \,n=2, que aceitaremos como correto.
  • l (número quântico azimutal ou orbital): determina a forma do orbital. Os valores possíveis são
l=0,1,2,\dots,n-1.
Como n=2, então l pode ser 0 ou 1. O valor l=1 dado é permitido.
  • m_l (número quântico magnético): determina a orientação do orbital e deve satisfazer
m_l \in \{-l,\,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,\,l\}.
Com l=1, os possíveis m_l são -1,0,+1. O valor m_l=-1 dado é permitido.
  • m_s (número quântico de spin): representa a orientação do spin do elétron. Os únicos valores permitidos são
m_s = +\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_s = -\tfrac{1}{2}.
Importante: não existe m_s=0. É esse ponto que está errado no conjunto dado.

Passo 3

Confrontando o conjunto dado (2,\,1,\,-1,\,0) com as regras:
  • n=2: OK.
  • l=1: OK.
  • m_l=-1: OK.
  • m_s=0: inválido, porque o spin do elétron só pode ser +\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}.
Então a única correção necessária é substituir m_s=0 por um valor de spin válido.

Passo 4

Agora devemos distinguir as duas situações pedidas (elétron desemparelhado vs. elétrons emparelhados no mesmo orbital):
  • Elétron desemparelhado no orbital com n=2, l=1, m_l=-1: um único elétron ocupa esse orbital. Para esse elétron o valor de m_s pode ser +\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}. Na prática, qualquer uma dessas duas opções é aceitável como representação de um elétron desemparelhado.
  • Elétrons emparelhados no mesmo orbital: quando o orbital n=2,\,l=1,\,m_l=-1 contém dois elétrons, eles devem ter spins opostos (princípio de Pauli / propriedade de ocupação do orbital). Portanto os dois conjuntos válidos para os dois elétrons são exatamente
(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\quad\text{e}\quad(2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2}).
Esses dois conjuntos diferem apenas em m_s e assim respeitam a regra de que não existem dois elétrons com os quatro números quânticos iguais.

Passo 5

Resumo didático curto (para decorar e usar na prova):
  • Nunca use m_s=0. Se vir isso, troque por +\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}.
  • Para um elétron desemparelhado: escolha um dos dois spins.
  • Para um par no mesmo orbital: atribua um spin +\tfrac{1}{2} a um elétron e -\tfrac{1}{2} ao outro (mesmos n,l,m_l, spins opostos).

Resposta

(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2}) (elétron desemparelhado; também poderia ser (2,1,-1,-\tfrac{1}{2}))
(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2}) e (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2}) (dois elétrons emparelhados no mesmo orbital)

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