11-Seja \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]. Encontre
(a) A^{2}-2 A
(b) 3 A^{3}-2 A^{2}+5 A-4 I_{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[6pt] 2 & 3\end{pmatrix}
e pede para calcular duas expressões matriciais:
(a) A^{2} - 2A
(b) 3A^{3} - 2A^{2} + 5A - 4I_{2}
Aqui vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e as operações de soma e multiplicação por escalar, além de conhecer a matriz identidade
I_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcular A^{2} = A\cdot A. Pelo produto linha-coluna:
A^{2} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-1)\cdot2 & 1\cdot(-1) + (-1)\cdot3 \\[4pt] 2\cdot1 + 3\cdot2 & 2\cdot(-1) + 3\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\[4pt] 8 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Usar o resultado de A^{2} para obter
A^{2} - 2A = \begin{pmatrix}-1 & -4 \\[4pt]8 & 7\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -4 \\[4pt]8 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & -2 \\[4pt]4 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -2 \\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{3} = A^{2}\cdot A:
A^{3} = \begin{pmatrix}-1 & -4 \\[4pt]8 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot1 + (-4)\cdot2 & -1\cdot(-1) + (-4)\cdot3 \\[4pt] 8\cdot1 + 7\cdot2 & 8\cdot(-1) + 7\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -11 \\[4pt] 22 & 13 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora montamos
3A^{3} - 2A^{2} + 5A - 4I_{2}.
Calculamos cada termo:
3A^{3} = \begin{pmatrix}-27 & -33 \\[4pt]66 & 39\end{pmatrix},\quad 2A^{2} = \begin{pmatrix}-2 & -8 \\[4pt]16 & 14\end{pmatrix},\quad 5A = \begin{pmatrix}5 & -5 \\[4pt]10 & 15\end{pmatrix},\quad 4I_{2} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Somando e subtraindo em ordem:
3A^{3} - 2A^{2} = \begin{pmatrix}-25 & -25 \\[4pt]50 & 25\end{pmatrix},\quad +\,5A = \begin{pmatrix}-20 & -30 \\[4pt]60 & 40\end{pmatrix},\quad -\,4I_{2} = \begin{pmatrix}-24 & -30 \\[4pt]60 & 36\end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
A^{2} - 2A = \begin{pmatrix}-3 & -2 \\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}.
(b)
3A^{3} - 2A^{2} + 5A - 4I_{2} = \begin{pmatrix}-24 & -30 \\[4pt]60 & 36\end{pmatrix}.]

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