20- Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]. Mostre que A é equivalente por linhas a I_{2} se, e somente se, a d-b c \neq 0.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
e pede para mostrar que A é equivalente por linhas a I_2 se, e somente se, \det(A)=ad - bc \neq 0. O conteúdo envolvido é o de operações elementares por linhas (eliminação de Gauss) e a relação entre posto, invertibilidade e determinante.
Passo 2
Mostramos primeiro que, se ad - bc \neq 0, então dá para reduzir A a I_2 por operações de linha.
Caso a \neq 0:
a) Divide-se a primeira linha por a:
R_1 \leftarrow \tfrac1a R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & \tfrac b a \\[6pt] c & d\end{pmatrix}.
b) Elimina-se c abaixo do pivô:
R_2 \leftarrow R_2 - c\,R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & \tfrac b a \\[3pt]0 & d - \tfrac{bc}{a}\end{pmatrix}.
Como d - \tfrac{bc}{a} =\tfrac{ad-bc}{a}\neq0, esse segundo pivô é não nulo. Divide-se a segunda linha por ele e, em seguida, elimina-se o elemento acima, obtendo-se I_2.
Caso a = 0:
Então \det(A)= -bc\neq0 implica b\neq0 e c\neq0. Primeiro troca-se as linhas:
Agora o pivô c na primeira linha é não nulo; segue-se procedimento análogo ao caso anterior: normaliza-se R_1, elimina-se abaixo, depois normaliza-se R_2 e elimina-se acima, chegando a I_2.
Dessa forma, sempre que ad-bc\neq0, A reduz-se a I_2.]
Passo 3
Agora provamos a recíproca: se A é equivalente por linhas a I_2, então o posto de A é igual ao posto de I_2, que é 2. Logo \operatorname{rank}(A)=2, isto é, A é invertível. Mas uma matriz 2\times2 é invertível exatamente quando \det(A)\neq0. Portanto, ad - bc \neq 0.
Resposta
Mostramos que A é equivalente por linhas a I_{2} se, e somente se,