13- Encontre uma matriz 2 \times 2 B \neq 0 e B \neq I_{2} tal que A B=B A, onde A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede uma matriz 2\times2 B tal que
1. B\neq0,
2. B\neq I_{2},
3. AB=BA,
onde
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&1\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é o de comutatividade de matrizes e a observação de que todo polinômio em A comuta com A.

Passo 2

Sabemos que se definirmos
B = p(A)
para algum polinômio p(x), então sempre vale
AB = A\,p(A) = p(A)\,A = BA.
Em particular, podemos escolher um polinômio simples para obter B\neq0 e B\neq I_{2}.

Passo 3

Escolhemos
p(x)=x-1,
logo
B = A - I_{2}.

Passo 4

Calculando B:
B = A - I_{2} = \begin{pmatrix}1&2\\\ 2&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix}.
Verificações:
  • B\neq0 (há entradas iguais a 2),
  • B\neq I_{2},
AB = A(A-I_{2}) = A^{2}-A,
BA = (A-I_{2})A = A^{2}-A,
logo AB=BA.

Resposta

B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix}

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