P 9.11. Seja uma transformação linear que possui uma representação matricial
em relação à base canónica. Quais são as condições sobre a, b, e c para que R^4 possua uma base de vectores próprios da transformação T ?
Passo 1
O enunciado diz que T:R^4toR^4 tem matriz, na base canónica,
M= 0 & 0 & 0 & 0 a & 0 & 0 & 0 0 & b & 0 & 0 0 & 0 & c & 0
Queremos que R^4 admita uma base de vectores próprios de T, ou seja, que T seja diagonalizável.
Passo 2
Para um operador ser diagonalizável é necessário e suficiente que, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) iguale a multiplicidade algébrica. Aqui o polinómico característico é
chiT(lambda)=det(lambda I - M)=lambda^4,
logo o único valor próprio é lambda=0 com multiplicidade algébrica 4. Precisamos então de
dimker(T-0cdot I)=dimker M=4
Passo 3
Calculemos
M,(x1,x2,x3,x4) =(0,;a,x1,;b,x2,;c,x3)
Para (x1,x2,x3,x4) estar em ker M exigimos
a,x1=0, b,x2=0, c,x3=0,
enquanto x4 fica sempre livre.
Se aneq0, então x1=0; se a=0, x1 é livre (contribui com +1 em dimker).
De modo análogo para b e c.
x4 é sempre livre (contribui com +1).
Logo
dimker M =(a=0?1:0)+(b=0?1:0)+(c=0?1:0)+1
Para igualar 4 precisamos de três “+1” dos parâmetros a,b,c, i.e. todos devem anular-se.
Resposta
As condições são
a=0, b=0, c=0,
pois só assim dimker M=4 e T é diagonalizável em R^4.