P 9.11. Seja T: R^4 R^4 uma transformação linear que possui uma representação matricial
[llll 0 & 0 & 0 & 0 a & 0 & 0 & 0 0 & b & 0 & 0 0 & 0 & c & 0 ]
em relação à base canónica. Quais são as condições sobre a, b, e c para que R^4 possua uma base de vectores próprios da transformação T ?

Passo 1

O enunciado diz que T:R^4toR^4 tem matriz, na base canónica,
M= 0 & 0 & 0 & 0 a & 0 & 0 & 0 0 & b & 0 & 0 0 & 0 & c & 0
Queremos que R^4 admita uma base de vectores próprios de T, ou seja, que T seja diagonalizável.

Passo 2

Para um operador ser diagonalizável é necessário e suficiente que, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) iguale a multiplicidade algébrica. Aqui o polinómico característico é
chiT(lambda)=det(lambda I - M)=lambda^4,
logo o único valor próprio é lambda=0 com multiplicidade algébrica 4. Precisamos então de
dimker(T-0cdot I)=dimker M=4

Passo 3

Calculemos
M,(x1,x2,x3,x4) =(0,;a,x1,;b,x2,;c,x3)
Para (x1,x2,x3,x4) estar em ker M exigimos
a,x1=0, b,x2=0, c,x3=0,
enquanto x4 fica sempre livre.
  • Se aneq0, então x1=0; se a=0, x1 é livre (contribui com +1 em dimker).
  • De modo análogo para b e c.
  • x4 é sempre livre (contribui com +1).
Logo
dimker M =(a=0?1:0)+(b=0?1:0)+(c=0?1:0)+1
Para igualar 4 precisamos de três “ +1” dos parâmetros a,b,c, i.e. todos devem anular-se.

Resposta

As condições são
a=0, b=0, c=0,
pois só assim dimker M=4 e T é diagonalizável em R^4.

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