não gera o espaço vetorial V = M2(K). O conteúdo usado será dimensão de espaço vetorial, subespaço gerado e combinação linear.
Passo 2
Sabemos que todo espaço de matrizes 2times2 tem dimensão
dim M2(K) = 4,
pois uma base canônica é
E11,;E12,;E21,;E22
Passo 3
O espaço gerado por S, que chamamos de span(S), pode ter dimensão no máximo igual ao número de vetores de S. Como lvert Srvert=2, então
diml(span(S)r)<=2
Passo 4
Uma combinação genérica de elementos de é
Logo são todas as matrizes da forma , que é um subespaço de dimensão 2.
Passo 5
Para ver que falta muita coisa em , basta tomar por exemplo
Se existissem tais que , teríamos e simultaneamente (pelas entradas e ), o que é impossível. Portanto .
Resposta
O conjunto S não gera M2(K), pois diml(span(S)r)<=2<4=dim M2(K) e, por exemplo, 1&00&0 não pode ser escrito como combinação linear dos dois elementos de S.