Mostre que o conjunto (ll1 & 0 0 & 1),(ll0 & 1 1 & 0) não gera V=M2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = 1 & 00 & 1,;0 & 11 & 0
não gera o espaço vetorial V = M2(K). O conteúdo usado será dimensão de espaço vetorial, subespaço gerado e combinação linear.

Passo 2

Sabemos que todo espaço de matrizes 2times2 tem dimensão
dim M2(K) = 4,
pois uma base canônica é
E11,;E12,;E21,;E22

Passo 3

O espaço gerado por S, que chamamos de span(S), pode ter dimensão no máximo igual ao número de vetores de S. Como lvert Srvert=2, então
diml(span(S)r)<=2

Passo 4

Uma combinação genérica de elementos de é
Logo são todas as matrizes da forma , que é um subespaço de dimensão 2.

Passo 5

Para ver que falta muita coisa em , basta tomar por exemplo
Se existissem tais que , teríamos e simultaneamente (pelas entradas e ), o que é impossível. Portanto .

Resposta

O conjunto S não gera M2(K), pois diml(span(S)r)<=2<4=dim M2(K) e, por exemplo, 1&00&0 não pode ser escrito como combinação linear dos dois elementos de S.

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