3 (2,0 pts.) Seja , a aplicação linear que satisfaz: , e .
(a) Determine ;
(b) Encontre e .
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear por suas imagens nos vetores canônicos. Precisamos usar a propriedade de linearidade para obter a forma geral de e depois calcular e .
Passo 2
Pela linearidade,
Substituindo as imagens dadas:
Somando coordenada a coordenada,
Passo 3
Para encontrar
Da segunda equação segue . Substituindo na primeira:
Então e , logo
Passo 4
A é o subespaço gerado pelos vetores , e . Como
esses três vetores são linearmente independentes e formam base de R^3. Logo