3 (2,0 pts.) Seja T: R^3 R^3, a aplicação linear que satisfaz: T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(-1,1,2) e T(0,0,1)=(2,0,1).
(a) Determine T(x, y, z);
(b) Encontre Ker(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear por suas imagens nos vetores canônicos. Precisamos usar a propriedade de linearidade para obter a forma geral de e depois calcular e .

Passo 2

Pela linearidade,
T(x,y,z) = x,T(1,0,0) + y,T(0,1,0) + z,T(0,0,1)
Substituindo as imagens dadas:
T(x,y,z) = x,(1,1,0) + y,(-1,1,2) + z,(2,0,1)
Somando coordenada a coordenada,
T(x,y,z) = (,x - y + 2z,; x + y,; 2y + z,)

Passo 3

Para encontrar
Da segunda equação segue . Substituindo na primeira:
Então e , logo

Passo 4

A Im(T) é o subespaço gerado pelos vetores T(1,0,0), T(0,1,0) e T(0,0,1). Como
det 1 & -1 & 2 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 = 6 neq 0,
esses três vetores são linearmente independentes e formam base de R^3. Logo
Im(T) = R^3

Resposta

(a)
(b) e

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