Descreva geometricamente os subespaços vetoriais de R^3 gerados pelos seguintes conjuntos.
(1,2,3),(1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede a descrição geométrica do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
,(1,2,3) e (1,-1,1). O que precisamos entender é se esses vetores são linearmente independentes e, em caso afirmativo, que tipo de subespaço eles formam (reta ou plano passando pela origem).

Passo 2

Verificamos se existe combinação não trivial
a,(1,2,3)+b,(1,-1,1)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
a+b=0, 2a - b=0, 3a + b=0
Da primeira equação vem b=-a. Substituindo na segunda: 2a-(-a)=3a=0Rightarrow a=0. Logo b=0. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como temos dois vetores independentes em R^3, o subespaço que eles geram é um plano através da origem.

Passo 4

Para obter a equação desse plano, calculamos um vetor normal a ele via produto vetorial:
(1,2,3)times(1,-1,1) =l(2cdot1 - 3cdot(-1),;-(1cdot1 - 3cdot1),;1cdot(-1)-2cdot1r) =(5,,2,,-3)
Logo um vetor normal é (5,2,-3).

Passo 5

A equação do plano que passa pela origem e tem normal (5,2,-3) é
5x + 2y - 3z = 0

Resposta

O subespaço gerado por (1,2,3),(1,-1,1) é o plano de R^3 que passa pela origem e cuja equação é
5x + 2y - 3z = 0

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