2.11 A velocidade de uma partícula de massa m varia com o deslocamento x de acordo com a equação \mathrm{v}=\mathrm{b} \mathrm{x} encontre a força que atua na partícula em função de x .

Passo 1

O enunciado dá a relação entre velocidade e deslocamento: v = b x. A massa da partícula é m. O que se pede: encontrar a força que atua na partícula em função de x.
Informações relevantes fornecidas: v é velocidade (função de x), x é deslocamento, b e m são constantes conhecidas. O objetivo é obter F(x).

Passo 2

Definições e ideia que vamos usar (passo didático curto): a força resultante sobre uma partícula é dada pela segunda lei de Newton,
F = m a,
onde a é a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a = \dfrac{dv}{dt}. Então precisamos escrever \dfrac{dv}{dt} em termos de x.

Passo 3

Explicando a técnica útil quando v é dada como função de x: como v depende de x e x depende de t, usamos a regra da cadeia para derivadas:
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Aqui \dfrac{dv}{dx} é a derivada de v em relação a x (mudança de velocidade por unidade de deslocamento) e \dfrac{dx}{dt} é a velocidade v. Substituindo:
a = v\cdot\frac{dv}{dx}.
Observação didática: essa fórmula a=v\,dv/dx é muito prática em problemas onde v é dado em função de x; evita ter que encontrar x(t) explicitamente.

Passo 4

Calculemos \dfrac{dv}{dx} para a função dada v=b x. Derivar em relação a x:
\frac{dv}{dx}=b,
pois a derivada de b x em relação a x é b (lembre: b é constante).

Passo 5

Agora usemos a = v\,\dfrac{dv}{dx}. Substituindo v=b x e \dfrac{dv}{dx}=b:
a = (b x)\cdot b = b^{2} x.
Explanação: a aceleração também é proporcional ao deslocamento x; a constante de proporcionalidade é b^{2}.

Passo 6

Finalmente aplicamos a segunda lei de Newton F = m a. Substituindo a = b^{2} x:
F(x)=m\,b^{2}x.
Interpretação física rápida: a força é proporcional ao deslocamento e tem o mesmo sinal de x. Isso lembra uma força elástica (como mola) com constante elástica k = m b^{2}.

Resposta

F(x)=m b^{2} x

Exercícios relacionados