2.11 A velocidade de uma partícula de massa m varia com o deslocamento x de acordo com a equação
encontre a força que atua na partícula em função de x .
Passo 1
O enunciado dá a relação entre velocidade e deslocamento:
. A massa da partícula é
. O que se pede: encontrar a força que atua na partícula em função de
.
Informações relevantes fornecidas: é velocidade (função de
),
é deslocamento,
e
são constantes conhecidas. O objetivo é obter
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Definições e ideia que vamos usar (passo didático curto): a força resultante sobre uma partícula é dada pela segunda lei de Newton,
onde
é a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
. Então precisamos escrever
em termos de
.
Passo 3
Explicando a técnica útil quando
é dada como função de
: como
depende de
e
depende de
, usamos a regra da cadeia para derivadas:
Aqui
é a derivada de
em relação a
(mudança de velocidade por unidade de deslocamento) e
é a velocidade
. Substituindo:
Observação didática: essa fórmula
é muito prática em problemas onde
é dado em função de
; evita ter que encontrar
explicitamente.
Passo 4
Calculemos
para a função dada
. Derivar em relação a
:
pois a derivada de
em relação a
é
(lembre:
é constante).
Passo 5
Agora usemos
. Substituindo
e
:
Explanação: a aceleração também é proporcional ao deslocamento
; a constante de proporcionalidade é
.
Passo 6
Finalmente aplicamos a segunda lei de Newton
. Substituindo
:
Interpretação física rápida: a força é proporcional ao deslocamento e tem o mesmo sinal de
. Isso lembra uma força elástica (como mola) com constante elástica
.