2.28 Use o resultado acima para obter o movimento estacionário de um oscilador harmônico forçado por uma onda quadrada periódica de amplitude F0. Em particular encontre as amplitudes relativas dos primeiros três termos
e A 5 da função resposta
no caso em que o terceiro harmônico, 3 w , coincide com a frequência de ressonância do oscilador. Considere o fator de qualidade Q = 100
Passo 1
O enunciado pede: obter o movimento estacionário (resposta no regime permanente) de um oscilador harmônico forçado por uma onda quadrada periódica de amplitude
e, em particular, encontrar as amplitudes relativas dos primeiros três termos
e
da resposta
no caso em que o terceiro harmônico,
, coincide com a frequência de ressonância do oscilador. Foi dado também o fator de qualidade
.
Informações do enunciado que vamos usar explicitamente:
Não há figura a ser interpretada; todas as informações necessárias estão listadas acima.
Passo 2
Modelo do oscilador e fórmula geral da resposta a um harmônico.
Consideramos o oscilador linear com equação
Consideramos o oscilador linear com equação
onde
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento e
é a constante elástica. A frequência natural é
. O fator de qualidade é definido por
Para um termo de força harmônico
a amplitude da resposta no regime permanente é dada por (resultado padrão de resposta de um oscilador linear)
Vamos manipular essa expressão para uma forma conveniente usando
e
.
Passo 3
Reescrevendo a amplitude em termos adimensionais e
.
Dividindo numerator e denominador por e usando
e
, obtemos
Dividindo numerator e denominador por
Explicando cada termo:
-
tem dimensão de deslocamento (é a amplitude estática correspondente à força ). -
é a frequência do -ésimo harmônico em unidades da frequência natural. - O denominador dentro da raiz combina o desvio em frequência (primeiro termo) e a contribuição do amortecimento (segundo termo com
).
Passo 4
Fourier da onda quadrada (coeficientes da força).
Uma onda quadrada simétrica (alternando entre e
, duty cycle 50%) tem série de Fourier composta apenas por senos (ou cossenos dependendo da fase), contendo apenas harmônicos ímpares; os coeficientes em amplitude para os termos ímpares são (resultado padrão):
Uma onda quadrada simétrica (alternando entre
Observação: o sinal (seno/cosseno) depende da escolha da origem de tempo; aqui só precisamos das amplitudes
, que valem
para
ímpar.
Passo 5
Expressão final para a amplitude do termo
-ésimo da resposta.
Substituindo na fórmula de
obtemos
Substituindo
Para comparar amplitudes de forma adimensional, é conveniente normalizar por
. Definimos a amplitude relativa
Explicando:
é a amplitude do
-ésimo termo da resposta expressa como múltiplo da deslocamento estático
. Isso facilita ver quais harmônicos dominam.
Passo 6
Aplicando a condição de sintonia
.
Sob a condição dada, . Então, para os
-ésimos harmônicos:
Sob a condição dada,
Substituímos isso na expressão de
. Lembrando que
.
Passo 7
Cálculo de
.
Para :
Para
O denominador da raiz é
Numericamente:
A raiz é aproximadamente
. Portanto
Passo 8
Cálculo de
.
Para :
Para
Então dentro da raiz:
A raiz é
. Logo
Isto mostra o grande ganho no terceiro harmônico por causa da ressonância (amplificação aproximadamente igual a
, como esperado).
Passo 9
Cálculo de
.
Para :
Para
Então
e o termo de amortecimento é
Somando:
a raiz é aproximadamente
. Portanto
Passo 10
Interpretação curta e verificação rápida.
-
é muito maior que e porque o terceiro harmônico está em ressonância ( ), e a amplificação em ressonância é aproximadamente multiplicando o coeficiente de força do terceiro harmônico. - Os valores calculados estão expressos em unidades de
(ou seja, são múltiplos do deslocamento estático provocado por uma força constante de amplitude ). Isso facilita comparação física.