2.28 Use o resultado acima para obter o movimento estacionário de um oscilador harmônico forçado por uma onda quadrada periódica de amplitude F0. Em particular encontre as amplitudes relativas dos primeiros três termos \mathrm{A} 1, \mathrm{~A} 3 e A 5 da função resposta \mathrm{x}(\mathrm{t}) no caso em que o terceiro harmônico, 3 w , coincide com a frequência de ressonância do oscilador. Considere o fator de qualidade Q = 100

Passo 1

O enunciado pede: obter o movimento estacionário (resposta no regime permanente) de um oscilador harmônico forçado por uma onda quadrada periódica de amplitude F_0 e, em particular, encontrar as amplitudes relativas dos primeiros três termos \mathrm{A}_1,\\ \mathrm{A}_3 e \mathrm{A}_5 da resposta x(t) no caso em que o terceiro harmônico, 3\omega, coincide com a frequência de ressonância do oscilador. Foi dado também o fator de qualidade Q=100.
Informações do enunciado que vamos usar explicitamente:
\text{Amplitude da onda quadrada: }F_0.
\text{Fator de qualidade: }Q=100.
\text{Condição de sintonia: }3\omega=\omega_0\quad\Rightarrow\quad \frac{\omega}{\omega_0}=\frac{1}{3}.çã
Não há figura a ser interpretada; todas as informações necessárias estão listadas acima.

Passo 2

Modelo do oscilador e fórmula geral da resposta a um harmônico.
Consideramos o oscilador linear com equação
m\ddot x + c\dot x + kx = F(t),
onde m é a massa, c é o coeficiente de amortecimento e k é a constante elástica. A frequência natural é \omega_0=\sqrt{k/m}. O fator de qualidade é definido por
Q=\frac{m\omega_0}{c}.
Para um termo de força harmônico F(t)=F_n\cos(n\omega t) a amplitude da resposta no regime permanente é dada por (resultado padrão de resposta de um oscilador linear)
|X_n|=\frac{F_n}{\sqrt{(k-m(n\omega)^2)^2+(c\,n\omega)^2}}.
Vamos manipular essa expressão para uma forma conveniente usando \omega_0 e Q.

Passo 3

Reescrevendo a amplitude em termos adimensionais e Q.
Dividindo numerator e denominador por k e usando k=m\omega_0^2 e c=m\omega_0/Q, obtemos
|X_n|=\frac{F_n/k}{\sqrt{\bigl(1-(n\omega/\omega_0)^2\bigr)^2+\dfrac{(n\omega/\omega_0)^2}{Q^2}}}.
Explicando cada termo:
  • F_n/k tem dimensão de deslocamento (é a amplitude estática correspondente à força F_n).
  • n\omega/\omega_0 é a frequência do n-ésimo harmônico em unidades da frequência natural.
  • O denominador dentro da raiz combina o desvio em frequência (primeiro termo) e a contribuição do amortecimento (segundo termo com Q).

Passo 4

Fourier da onda quadrada (coeficientes da força).
Uma onda quadrada simétrica (alternando entre +F_0 e -F_0, duty cycle 50%) tem série de Fourier composta apenas por senos (ou cossenos dependendo da fase), contendo apenas harmônicos ímpares; os coeficientes em amplitude para os termos ímpares são (resultado padrão):
F(t)=\sum_{n\\ \text{ímpar}} F_n\sin(n\omega t), \qquad F_n=\frac{4F_0}{\pi n}\quad (n=1,3,5,\dots).í
Observação: o sinal (seno/cosseno) depende da escolha da origem de tempo; aqui só precisamos das amplitudes F_n, que valem \dfrac{4F_0}{\pi n} para n ímpar.

Passo 5

Expressão final para a amplitude do termo n-ésimo da resposta.
Substituindo F_n na fórmula de |X_n| obtemos
A_n \equiv |X_n| = \frac{\dfrac{4F_0}{\pi n}}{\displaystyle k\sqrt{\bigl(1-(n\omega/\omega_0)^2\bigr)^2+\dfrac{(n\omega/\omega_0)^2}{Q^2}}}.
Para comparar amplitudes de forma adimensional, é conveniente normalizar por F_0/k. Definimos a amplitude relativa
\widetilde{A}_n \equiv \frac{A_n}{F_0/k} = \frac{4}{\pi n}\cdot\frac{1}{\sqrt{\bigl(1-(n\omega/\omega_0)^2\bigr)^2+\dfrac{(n\omega/\omega_0)^2}{Q^2}}}.
Explicando: \widetilde{A}_n é a amplitude do n-ésimo termo da resposta expressa como múltiplo da deslocamento estático F_0/k. Isso facilita ver quais harmônicos dominam.

Passo 6

Aplicando a condição de sintonia 3\omega=\omega_0.
Sob a condição dada, \dfrac{\omega}{\omega_0}=\dfrac{1}{3}. Então, para os n-ésimos harmônicos:
\frac{n\omega}{\omega_0}=\frac{n}{3}.
Substituímos isso na expressão de \widetilde{A}_n. Lembrando que Q=100.

Passo 7

Cálculo de \widetilde{A}_1.
Para n=1:
\frac{n\omega}{\omega_0}=\frac{1}{3},\qquad \bigl(1-(1/3)^2\bigr)=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.
O denominador da raiz é
\bigl(\tfrac{8}{9}\bigr)^2+\frac{(1/3)^2}{Q^2} =\frac{64}{81}+\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{10000} =\frac{64}{81}+\frac{1}{90000}.
Numericamente:
\frac{64}{81}\approx 0,7901234568,\qquad \frac{1}{90000}\approx 0,0000111111,
\text{somando: } \approx 0,7901345679.
A raiz é aproximadamente \approx 0,888895. Portanto
\widetilde{A}_1=\frac{4}{\pi\cdot 1}\cdot\frac{1}{0,888895}\approx \frac{4}{\pi}\cdot 1{,}12509\approx 1{,}431.

Passo 8

Cálculo de \widetilde{A}_3.
Para n=3:
\frac{n\omega}{\omega_0}=\frac{3}{3}=1.
Então dentro da raiz:
\bigl(1-1^2\bigr)^2+\frac{1^2}{Q^2}=0+\frac{1}{10000}=0{,}0001.
A raiz é \sqrt{0{,}0001}=0{,}01. Logo
\widetilde{A}_3=\frac{4}{\pi\cdot 3}\cdot\frac{1}{0{,}01}=\frac{4}{3\pi}\cdot 100\approx 42{,}441.
Isto mostra o grande ganho no terceiro harmônico por causa da ressonância (amplificação aproximadamente igual a Q, como esperado).

Passo 9

Cálculo de \widetilde{A}_5.
Para n=5:
\frac{n\omega}{\omega_0}=\frac{5}{3},\qquad \left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}\approx 2{,}7777778.
Então
1-\left(\frac{5}{3}\right)^2=1-\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}\approx -1{,}7777778,
\bigl(1-(5/3)^2\bigr)^2=\left(\frac{16}{9}\right)^2=\frac{256}{81}\approx 3{,}1604938,
e o termo de amortecimento é
\frac{(5/3)^2}{Q^2}=\frac{25/9}{10000}\approx 0{,}0002777778.
Somando:
\approx 3{,}1604938+0{,}0002778\approx 3{,}1607716,
a raiz é aproximadamente \approx 1{,}77796. Portanto
\widetilde{A}_5=\frac{4}{\pi\cdot 5}\cdot\frac{1}{1{,}77796}\approx \frac{4}{5\pi}\cdot 0{,}5624\approx 0{,}1432.

Passo 10

Interpretação curta e verificação rápida.
  • \widetilde{A}_3 é muito maior que \widetilde{A}_1 e \widetilde{A}_5 porque o terceiro harmônico está em ressonância ( 3\omega=\omega_0), e a amplificação em ressonância é aproximadamente Q=100 multiplicando o coeficiente de força do terceiro harmônico.
  • Os valores calculados estão expressos em unidades de F_0/k (ou seja, são múltiplos do deslocamento estático provocado por uma força constante de amplitude F_0). Isso facilita comparação física.

Resposta

\displaystyle A_1 \approx 1{,}431\;\frac{F_0}{k}
\displaystyle A_3 \approx 42{,}441\;\frac{F_0}{k}
\displaystyle A_5 \approx 0{,}1432\;\frac{F_0}{k}

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