3.20 Um pêndulo esférico de 1 metro de comprimento está executando pequenas oscilações em torno de um ^angulo cônico
. Se
, encontre o período do movimento cônico, o período de oscilação de
em torno de
e o ^ angulo de precessão
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá alguns dados. Vou listar com calma para não confundir:
- Dados:
(comprimento do pêndulo) e .
Movimento: pêndulo esférico executando pequenas oscilações em torno do ângulo cônico. - Perguntas:
- O período do movimento cônico (ou seja, o período do movimento circular em
quando constante). - O período da pequena oscilação de
em torno de . - O ângulo de precessão
— isto é, quanto o ângulo azimutal avança durante uma oscilação completa de .
- O período do movimento cônico (ou seja, o período do movimento circular em
Passo 2
Entender o movimento cônico em equilíbrio (sem oscilações em
). Vou deduzir as equações básicas e o período do movimento circular.
-
Física e equilíbrio: quando o pêndulo descreve um círculo horizontal com
constante, a tensão na corda tem uma componente vertical que equilibra o peso e uma componente horizontal que fornece a força centrípeta. Escrevendo essas duas condições (para uma massa , que irá cancelar mais tarde): - Equilíbrio vertical:
. - Força centrípeta horizontal:
, onde é o raio do círculo e é a velocidade angular em .
- Equilíbrio vertical:
-
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
: Isolando: Aqui a simplificação usou. -
O período do movimento cônico (período da volta em
) é Explico:é a frequência angular; o período é . As variáveis: comprimento, aceleração da gravidade, ângulo fixo do cone.
Passo 3
Calcular numericamente o período do movimento cônico usando
,
e
.
- Primeiro calcule
. Como : - Agora
Passo 4
Agora estudo as pequenas oscilações de
em torno de
. Vou derivar a frequência de pequenas oscilações
e daí o período associado.
-
Modelo dinâmico (explicação didática): descrevemos o pêndulo por dois ângulos
e . A energia cinética e potencial são: Aqui, . A coordenada é cíclica (não aparece no potencial), então seu momento conjugado é conservado (constante). -
A equação de movimento para
(Euler–Lagrange) dá: Interpretação: a primeira parcela é a aceleração angular, a segunda vem da contribuição centrífuga dependente dee a última é a contribuição do peso. -
Para pequenas oscilações em torno de
usamos o fato de conservação de . Em equilíbrio temos com conforme obtido antes. Linearizando a equação deao redor de (detalhes técnicos: expandir a energia efetiva ou a equação de movimento até termos lineares em ) obtém-se a frequência ao quadrado das pequenas oscilações: Vou explicar o que isto significa: o primeiro fatoré justamente , a frequência angular do movimento cônico; o fator aparece porque a conservação do momento angular faz com que a velocidade em varie com e dá um efeito estabilizante/alterador na frequência de . -
Portanto a frequência angular da oscilação de
é e o período dessa oscilação é
Passo 5
Calcular numericamente
para os valores dados.
- Primeiro calcule
. Para : - Então
- Lembrando que
, temos - O período
Passo 6
Encontrar o ângulo de precessão
durante uma oscilação de
.
- Interpretação:
é o avanço do ângulo enquanto completa uma oscilação de amplitude pequena. Uma boa aproximação de primeira ordem (válida para pequenas amplitudes) é usar a velocidade média em aproximadamente igual à velocidade do movimento cônico de equilíbrio . Assim a mudança em durante um período de é aproximadamente Outra forma equivalente de escrever é Observação didática: essa é a expressão de primeira ordem; correções de ordem existem porque varia com , mas para pequenas oscilações a aproximação acima é a mais usada e já dá a precessão principal.
Passo 7
Calcular numericamente
.
- Usando
(já obtido implicitamente antes) e , - Em graus (para intuição):
Resposta
Período do movimento cônico:
Período da oscilação de :
Ângulo de precessão por oscilação:
Período da oscilação de
Ângulo de precessão por oscilação: