3.20 Um pêndulo esférico de 1 metro de comprimento está executando pequenas oscilações em torno de um ^angulo cônico \theta 0. Se \theta 0=30^{\circ}, encontre o período do movimento cônico, o período de oscilação de \theta em torno de \theta 0 e o ^ angulo de precessão \Delta \varphi.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá alguns dados. Vou listar com calma para não confundir:
  • Dados:
    \;l=1\\ \text{m} (comprimento do pêndulo) e \theta_{0}=30^\circ.
    Movimento: pêndulo esférico executando pequenas oscilações em torno do ângulo cônico \theta_{0}.
  • Perguntas:
    1. O período do movimento cônico (ou seja, o período do movimento circular em \varphi quando \theta=\theta_{0} constante).
    2. O período da pequena oscilação de \theta em torno de \theta_{0}.
    3. O ângulo de precessão \Delta\varphi — isto é, quanto o ângulo azimutal \varphi avança durante uma oscilação completa de \theta.

Passo 2

Entender o movimento cônico em equilíbrio (sem oscilações em \theta). Vou deduzir as equações básicas e o período do movimento circular.
  • Física e equilíbrio: quando o pêndulo descreve um círculo horizontal com \theta=\theta_{0} constante, a tensão T na corda tem uma componente vertical que equilibra o peso e uma componente horizontal que fornece a força centrípeta. Escrevendo essas duas condições (para uma massa m, que irá cancelar mais tarde):
    • Equilíbrio vertical: T\cos\theta_{0} = mg.
    • Força centrípeta horizontal: T\sin\theta_{0} = m r \omega_{\varphi}^{2}, onde r = l\sin\theta_{0} é o raio do círculo e \omega_{\varphi}=\dfrac{d\varphi}{dt} é a velocidade angular em \varphi.
  • Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar T:
    \tan\theta_{0} = \frac{r\omega_{\varphi}^{2}}{g} = \frac{l\sin\theta_{0}\,\omega_{\varphi}^{2}}{g}.
    Isolando \omega_{\varphi}^{2}:
    \omega_{\varphi}^{2}=\frac{g\tan\theta_{0}}{l\sin\theta_{0}}=\frac{g}{l\cos\theta_{0}}.
    Aqui a simplificação usou \tan\theta_{0}/\sin\theta_{0}=1/\cos\theta_{0}.
  • O período do movimento cônico (período da volta em \varphi) é
    T_{\text{cônico}}=\frac{2\pi}{\omega_{\varphi}}=2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta_{0}}{g}}.ô
    Explico: \omega_{\varphi} é a frequência angular; o período é 2\pi/\omega_{\varphi}. As variáveis: l comprimento, g aceleração da gravidade, \theta_{0} ângulo fixo do cone.

Passo 3

Calcular numericamente o período do movimento cônico usando l=1\\ \text{m}, \theta_{0}=30^\circ e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
  • Primeiro calcule \cos\theta_{0}. Como \theta_{0}=30^\circ: \cos\theta_{0}=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
  • Agora T_{\text{cônico}}=2\pi\sqrt{\frac{1\cdot 0{,}8660254}{9{,}8}}=2\pi\sqrt{0{,}0883710}\approx 2\pi(0{,}29728)\approx 1{,}867\\ \text{s}.ô

Passo 4

Agora estudo as pequenas oscilações de \theta em torno de \theta_{0}. Vou derivar a frequência de pequenas oscilações \omega_{\theta} e daí o período associado.
  • Modelo dinâmico (explicação didática): descrevemos o pêndulo por dois ângulos \theta(t) e \varphi(t). A energia cinética e potencial são:
    T=\tfrac{1}{2}m l^{2}\big(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big),\qquad V=mgl(1-\cos\theta).
    Aqui \dot{\theta}=d\theta/dt, \dot{\varphi}=d\varphi/dt. A coordenada \varphi é cíclica (não aparece no potencial), então seu momento conjugado p_{\varphi}=m l^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi} é conservado (constante).
  • A equação de movimento para \theta (Euler–Lagrange) dá:
    \ddot{\theta}+\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}-\frac{g}{l}\sin\theta=0.
    Interpretação: a primeira parcela é a aceleração angular, a segunda vem da contribuição centrífuga dependente de \dot{\varphi}^{2} e a última é a contribuição do peso.
  • Para pequenas oscilações em torno de \theta_{0} usamos o fato de conservação de p_{\varphi}. Em equilíbrio temos \dot{\varphi}=\omega_{\phi0} com
    \omega_{\phi0}^{2}=\frac{g}{l\cos\theta_{0}},
    conforme obtido antes. Linearizando a equação de \theta ao redor de \theta_{0} (detalhes técnicos: expandir a energia efetiva ou a equação de movimento até termos lineares em \eta=\theta-\theta_{0}) obtém-se a frequência ao quadrado das pequenas oscilações:
    \omega_{\theta}^{2}=\frac{g}{l\cos\theta_{0}}\big(1+3\cos^{2}\theta_{0}\big).
    Vou explicar o que isto significa: o primeiro fator \dfrac{g}{l\cos\theta_{0}} é justamente \omega_{\phi0}^{2}, a frequência angular do movimento cônico; o fator (1+3\cos^{2}\theta_{0}) aparece porque a conservação do momento angular faz com que a velocidade em \varphi varie com \theta e dá um efeito estabilizante/alterador na frequência de \theta.
  • Portanto a frequência angular da oscilação de \theta é
    \omega_{\theta}=\sqrt{\frac{g}{l\cos\theta_{0}}\big(1+3\cos^{2}\theta_{0}\big)},
    e o período dessa oscilação é
    T_{\theta}=\frac{2\pi}{\omega_{\theta}}.

Passo 5

Calcular numericamente T_{\theta} para os valores dados.
  • Primeiro calcule \cos^{2}\theta_{0}. Para \theta_{0}=30^\circ: \cos^{2}\theta_{0}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}=0{,}75.
  • Então 1+3\cos^{2}\theta_{0}=1+3\cdot 0{,}75=1+2{,}25=3{,}25.
  • Lembrando que \dfrac{g}{l\cos\theta_{0}}\approx \dfrac{9{,}8}{0{,}8660254}\approx 11{,}317\\ \text{s}^{-2}, temos \omega_{\theta}^{2}=11{,}317\times 3{,}25\approx 36{,}126\quad\Rightarrow\quad \omega_{\theta}\approx 6{,}012\\ \text{rad/s}.
  • O período T_{\theta}=\frac{2\pi}{\omega_{\theta}}\approx\frac{6{,}283185}{6{,}012}\approx 1{,}045\\ \text{s}.

Passo 6

Encontrar o ângulo de precessão \Delta\varphi durante uma oscilação de \theta.
  • Interpretação: \Delta\varphi é o avanço do ângulo \varphi enquanto \theta completa uma oscilação de amplitude pequena. Uma boa aproximação de primeira ordem (válida para pequenas amplitudes) é usar a velocidade média em \varphi aproximadamente igual à velocidade do movimento cônico de equilíbrio \omega_{\phi0}. Assim a mudança em \varphi durante um período de \theta é aproximadamente \Delta\varphi \approx \omega_{\phi0}\,T_{\theta}.Outra forma equivalente de escrever é \Delta\varphi \approx 2\pi\frac{\omega_{\phi0}}{\omega_{\theta}}.Observação didática: essa é a expressão de primeira ordem; correções de ordem \eta^{2} existem porque \dot{\varphi} varia com \theta, mas para pequenas oscilações a aproximação acima é a mais usada e já dá a precessão principal.

Passo 7

Calcular numericamente \Delta\varphi.
  • Usando \omega_{\phi0}=\sqrt{\dfrac{g}{l\cos\theta_{0}}}\approx 3{,}366\\ \text{rad/s} (já obtido implicitamente antes) e T_{\theta}\approx 1{,}045\\ \text{s}, \Delta\varphi\approx \omega_{\phi0}T_{\theta}\approx 3{,}366\times 1{,}045\approx 3{,}517\\ \text{rad}.
  • Em graus (para intuição): \Delta\varphi\approx 3{,}517\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 201{,}5^\circ.

Resposta

Período do movimento cônico: T_{\text{cônico}}\approx 1{,}867\\ \text{s}ô
Período da oscilação de \theta: T_{\theta}\approx 1{,}045\\ \text{s}
Ângulo de precessão por oscilação: \Delta\varphi\approx 3{,}517\\ \text{rad}\\ (\approx 201{,}5^\circ)

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