2.9 Encontre a relação entre a distância de queda e a velocidade de um corpo abandonado do repouso em queda livre e sujeito a resistência do ar proporcional: (a) a velocidade (b) ao quadrado da velocidade.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a relação entre a distância de queda e a velocidade de um corpo abandonado do repouso, quando há resistência do ar proporcional a (a) a velocidade e (b) ao quadrado da velocidade. Informações e hipóteses que vamos usar (tudo dado/assumido pelo enunciado):
- Massa do corpo:
(constante). - Aceleração da gravidade:
(constante). - Coeficiente de resistência do ar:
(constante). Em (a) a força de resistência tem a forma proporcional a ; em (b) a força é proporcional a . - O corpo é abandonado do repouso: condição inicial
quando a distância caída . - Convenção de sinais: escolhemos sentido para baixo como positivo. Assim o peso tem sinal positivo
e a resistência do ar tem sinal negativo (opõe-se ao movimento). - O que se pede, em termos matemáticos: obter uma relação entre a distância caída
e a velocidade , ou seja, uma expressão do tipo (ou equivalente), para cada lei de resistência.
Vamos então transformar as leis de Newton em equações relacionando
e
e integrar para obter
em função de
.
Passo 2
Ferramenta chave (explicada devagar): a Segunda Lei de Newton e a mudança de variável para ligar tempo e espaço.
- Segunda Lei: soma das forças
massa vezes aceleração. A aceleração é . - Queremos
em função de . Para passar de derivada temporal para derivada espacial usamos a regra da cadeia:
pois
. Esta identidade é essencial: troca uma equação em
por uma equação em
, que podemos integrar diretamente para obter
.
- Em ambos os casos vamos escrever
(peso) (resistência), substituir , separar variáveis e integrar com as condições iniciais quando .
Agora aplicamos isso aos dois casos pedidos.
Passo 3
Caso (a): resistência proporcional à velocidade, isto é, força de resistência
(para cima), então a equação de movimento (para baixo positivo) é
Substituindo
obtemos
Queremos isolar
e integrar; fazemos
Integramos ambos os lados desde o repouso até velocidade
e distância de
a
:
Para calcular a integral do lado esquerdo usamos a identidade algébrica
com
e
. Aplicando isso dentro da integral:
Integramos termo a termo:
Avaliando os limites (note que
para
pequeno suficiente; usamos a forma em que o argumento do log é adimensionalizado por divisão por
para ficar mais claro) obtemos
Esta é a relação
para resistência linear. Podemos reorganizar a mesma expressão em forma equivalente mais compacta (ver próximo passo).
Passo 4
Compactação e interpretação do caso (a):
Definimos a velocidade terminal (quando
) como
Substituindo
nas constantes que aparecem na expressão anterior obtemos uma forma mais elegante:
Podemos também escrever
Verificação física rápida (sem pular passos): para velocidades pequenas
expandindo
obtemos
que é a relação clássica sem resistência (bom sinal: a expressão reduz corretamente ao caso sem resistência no limite
, ou
). A expressão mostra que
nunca ultrapassa
(o argumento do log exige
) e que
aproxima
assintoticamente.
Passo 5
Caso (b): resistência proporcional ao quadrado da velocidade, isto é,
(para cima). A equação de movimento (baixo positivo) é
Usando
:
Separamos as variáveis:
Integramos de
a
no lado esquerdo e de
a
no direito:
Para calcular a integral do lado esquerdo fazemos a substituição
, logo
. Assim
Voltando a
e aplicando os limites de integração:
Esta é a relação
para resistência quadrática. Podemos reorganizar para formas equivalentes no próximo passo.
Passo 6
Compactação e interpretação do caso (b):
Definimos a velocidade terminal (quando
) como
Substituindo nessa expressão temos formas equivalentes:
Verificação de consistência: para
expandindo
com
,
de novo recuperando a relação sem resistência no limite de pequenas velocidades. Observação física: à medida que
o log diverge (argumento tende a zero), indicando que
se aproxima de
apenas assintoticamente com aumento de
.