2.9 Encontre a relação entre a distância de queda e a velocidade de um corpo abandonado do repouso em queda livre e sujeito a resistência do ar proporcional: (a) a velocidade (b) ao quadrado da velocidade.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a relação entre a distância de queda e a velocidade de um corpo abandonado do repouso, quando há resistência do ar proporcional a (a) a velocidade e (b) ao quadrado da velocidade. Informações e hipóteses que vamos usar (tudo dado/assumido pelo enunciado):
  • Massa do corpo: m (constante).
  • Aceleração da gravidade: g (constante).
  • Coeficiente de resistência do ar: k (constante). Em (a) a força de resistência tem a forma proporcional a v; em (b) a força é proporcional a v^2.
  • O corpo é abandonado do repouso: condição inicial \,v(0)=0 quando a distância caída \,s=0.
  • Convenção de sinais: escolhemos sentido para baixo como positivo. Assim o peso tem sinal positivo mg e a resistência do ar tem sinal negativo (opõe-se ao movimento).
  • O que se pede, em termos matemáticos: obter uma relação entre a distância caída s e a velocidade v, ou seja, uma expressão do tipo s=s(v) (ou equivalente), para cada lei de resistência.
Vamos então transformar as leis de Newton em equações relacionando v e s e integrar para obter s em função de v.

Passo 2

Ferramenta chave (explicada devagar): a Segunda Lei de Newton e a mudança de variável para ligar tempo e espaço.
  • Segunda Lei: soma das forças = massa vezes aceleração. A aceleração é a=\dfrac{dv}{dt}.
  • Queremos s em função de v. Para passar de derivada temporal para derivada espacial usamos a regra da cadeia:
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\;v\;\frac{dv}{ds},
pois \dfrac{ds}{dt}=v. Esta identidade é essencial: troca uma equação em t por uma equação em s, que podemos integrar diretamente para obter s(v).
  • Em ambos os casos vamos escrever m\frac{dv}{dt}= (peso) - (resistência), substituir \dfrac{dv}{dt}=v\,\dfrac{dv}{ds}, separar variáveis e integrar com as condições iniciais v=0 quando s=0.
Agora aplicamos isso aos dois casos pedidos.

Passo 3

Caso (a): resistência proporcional à velocidade, isto é, força de resistência F_r = k v (para cima), então a equação de movimento (para baixo positivo) é
m\frac{dv}{dt}=mg - kv.
Substituindo \dfrac{dv}{dt}=v\frac{dv}{ds} obtemos
m\,v\frac{dv}{ds}=mg - kv.
Queremos isolar ds e integrar; fazemos
\frac{m\,v}{mg-kv}\,dv = ds.
Integramos ambos os lados desde o repouso até velocidade v e distância de 0 a s:
\int_{0}^{v}\frac{m\,u}{mg-ku}\,du=\int_{0}^{s}ds.
Para calcular a integral do lado esquerdo usamos a identidade algébrica
\frac{u}{a-bu} = -\frac{1}{b} + \frac{a}{b}\cdot\frac{1}{a-bu},
com a=mg e b=k. Aplicando isso dentro da integral:
\int_{0}^{v}\frac{m\,u}{mg-ku}\,du = m\int_{0}^{v}\left(-\frac{1}{k} + \frac{mg}{k}\cdot\frac{1}{mg-ku}\right)du.
Integramos termo a termo:
m\left[-\frac{u}{k} - \frac{mg}{k^{2}}\ln|mg-ku|\right]_{0}^{v}.
Avaliando os limites (note que mg>ku para u pequeno suficiente; usamos a forma em que o argumento do log é adimensionalizado por divisão por mg para ficar mais claro) obtemos
s = -\frac{m}{k}v - \frac{m^{2}g}{k^{2}}\ln\!\left(\frac{mg-kv}{mg}\right).
Esta é a relação s=s(v) para resistência linear. Podemos reorganizar a mesma expressão em forma equivalente mais compacta (ver próximo passo).

Passo 4

Compactação e interpretação do caso (a):
Definimos a velocidade terminal (quando mg=k v) como
v_{t}=\frac{mg}{k}.
Substituindo v_{t} nas constantes que aparecem na expressão anterior obtemos uma forma mais elegante:
s = -\frac{v_{t}}{g}\,v \;-\; \frac{v_{t}^{2}}{g}\,\ln\!\left(1-\frac{v}{v_{t}}\right).
Podemos também escrever
s=\frac{v_{t}^{2}}{g}\left(-\frac{v}{v_{t}}-\ln\!\left(1-\frac{v}{v_{t}}\right)\right).
Verificação física rápida (sem pular passos): para velocidades pequenas \frac{v}{v_{t}}\ll1 expandindo \ln(1-x)\approx -x-\dfrac{x^{2}}{2} obtemos
s \approx \frac{v^{2}}{2g},
que é a relação clássica sem resistência (bom sinal: a expressão reduz corretamente ao caso sem resistência no limite k\to0, ou v/v_t\to0). A expressão mostra que v nunca ultrapassa v_t (o argumento do log exige v<v_t) e que v aproxima v_t assintoticamente.

Passo 5

Caso (b): resistência proporcional ao quadrado da velocidade, isto é, F_r = k v^{2} (para cima). A equação de movimento (baixo positivo) é
m\frac{dv}{dt}=mg - k v^{2}.
Usando \dfrac{dv}{dt}=v\frac{dv}{ds}:
m\,v\frac{dv}{ds}=mg - k v^{2}.
Separamos as variáveis:
\frac{m\,v}{mg - k v^{2}}\,dv = ds.
Integramos de 0 a v no lado esquerdo e de 0 a s no direito:
\int_{0}^{v}\frac{m\,u}{mg - k u^{2}}\,du = \int_{0}^{s} ds.
Para calcular a integral do lado esquerdo fazemos a substituição w=u^{2}\Rightarrow dw=2u\,du, logo u\,du = \dfrac{dw}{2}. Assim
\int \frac{u}{mg-ku^{2}}du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{mg - k w}\,dw = -\frac{1}{2k}\ln|mg - k w| + C.
Voltando a u e aplicando os limites de integração:
s = -\frac{m}{2k}\ln\!\left(\frac{mg - k v^{2}}{mg}\right).
Esta é a relação s=s(v) para resistência quadrática. Podemos reorganizar para formas equivalentes no próximo passo.

Passo 6

Compactação e interpretação do caso (b):
Definimos a velocidade terminal (quando mg = k v^{2}) como
v_{t}=\sqrt{\frac{mg}{k}}.
Substituindo nessa expressão temos formas equivalentes:
s = \frac{m}{2k}\ln\!\left(\frac{mg}{mg - k v^{2}}\right) \quad\text{ou}\quad s = -\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-\frac{v^{2}}{v_{t}^{2}}\right).
Verificação de consistência: para v\ll v_{t} expandindo -\ln(1-x)\approx x com x=v^{2}/v_{t}^{2},
s \approx \frac{m}{2k}\cdot\frac{v^{2}}{v_{t}^{2}} = \frac{v^{2}}{2g},
de novo recuperando a relação sem resistência no limite de pequenas velocidades. Observação física: à medida que v\to v_{t} o log diverge (argumento tende a zero), indicando que v se aproxima de v_{t} apenas assintoticamente com aumento de s.

Resposta

\displaystyle s=-\frac{m}{k}v-\frac{m^{2}g}{k^{2}}\ln\!\left(1-\frac{k v}{m g}\right) (resistência proporcional a v).\n
\displaystyle s=-\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-\frac{v^{2}}{(mg/k)}\right)=\frac{m}{2k}\ln\!\left(\frac{mg}{mg-kv^{2}}\right) (resistência proporcional a v^{2}).

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