3-111 Balloons are often filled with helium gas because it weighs only about one-seventh of what air weighs under identical conditions. The buoyancy force, which can be expressed as
, will push the balloon upward. If the balloon has a diameter of 10 m and carries two people, 70 kg each, determine the acceleration of the balloon when it is first released. Assume the density of air is
, and neglect the weight of the ropes and the cage.
Passo 1
O enunciado pede a aceleração do balão no instante em que é solto. Dados fornecidos (vou listar tudo pra ficar claro):
O que devemos encontrar: a aceleração inicial
(direção e módulo) do conjunto balão + gás + pessoas, desprezando cabos e gaiola.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem): Archimedes diz que a força de empuxo para um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado. Para o balão esférico isso dá:
onde
é o empuxo (N),
é a densidade do ar (
),
é a aceleração da gravidade (
) e
é o volume deslocado (
).
O volume do balão (esfera) é
O volume do balão (esfera) é
Vou calcular
numericamente em seguida.
Passo 3
Cálculo do volume do balão, com contas passo a passo:
Avaliação numérica (usar
):
Explicação curta: aqui calculei
, multipliquei por
e por
.
Passo 4
Massa do hélio dentro do balão: o enunciado diz que o hélio pesa cerca de um sétimo do ar nas mesmas condições, ou seja
Então a massa do hélio é
Como
é a massa de ar deslocada, fica mais prático calcular primeiro
:
Logo
E a massa total que vai acelerar (pessoas + hélio) é
Passo 5
Forças verticais atuando (positiva para cima):
- Empuxo para cima:
. - Peso do hélio para baixo:
. - Peso das pessoas para baixo:
.
Calculemos
numericamente:
Observação útil: como
, o peso do hélio é simplesmente
. Assim
E o peso das pessoas é
Passo 6
Força resultante para cima (soma vetorial, empuxo menos pesos):
Usando os valores numéricos:
Interpretação: essa é a força líquida que acelera o conjunto.
Passo 7
Aplicando a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração:
Substituindo números:
Explicação didática: dividimos a força líquida pela massa que está sendo acelerada (pessoas mais o gás), como manda
. O resultado positivo indica aceleração para cima.