3-111 Balloons are often filled with helium gas because it weighs only about one-seventh of what air weighs under identical conditions. The buoyancy force, which can be expressed as F_{b}=\rho_{\text {air }} g V_{\text {balloon }}, will push the balloon upward. If the balloon has a diameter of 10 m and carries two people, 70 kg each, determine the acceleration of the balloon when it is first released. Assume the density of air is \rho=1.16 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, and neglect the weight of the ropes and the cage.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração do balão no instante em que é solto. Dados fornecidos (vou listar tudo pra ficar claro):
\text{diâmetro do balão }=10\\ \mathrm{m}âã
\text{raio do balão }r=5\\ \mathrm{m}ã
\rho_{\text{ar}}=1,16\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\text{duas pessoas, cada uma com massa }70\\ \mathrm{kg} \Rightarrow m_{\text{pessoas}}=140\\ \mathrm{kg}
g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} \\ (\text{usar este valor})
O que devemos encontrar: a aceleração inicial a (direção e módulo) do conjunto balão + gás + pessoas, desprezando cabos e gaiola.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem): Archimedes diz que a força de empuxo para um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado. Para o balão esférico isso dá:
F_{b}=\rho_{\text{ar}}\,g\,V
onde F_{b} é o empuxo (N), \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar ( \mathrm{kg/m^{3}}), g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}) e V é o volume deslocado ( \mathrm{m^{3}}).
O volume do balão (esfera) é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Vou calcular V numericamente em seguida.

Passo 3

Cálculo do volume do balão, com contas passo a passo:
V=\frac{4}{3}\pi (5\,\mathrm{m})^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot125=\frac{500\pi}{3}\\ \mathrm{m^{3}}
Avaliação numérica (usar \pi\approx3{,}14159265):
V\approx 523{,}599\\ \mathrm{m^{3}}.
Explicação curta: aqui calculei 5^3=125, multipliquei por 4/3 e por \pi.

Passo 4

Massa do hélio dentro do balão: o enunciado diz que o hélio pesa cerca de um sétimo do ar nas mesmas condições, ou seja
\rho_{\text{He}}=\frac{\rho_{\text{ar}}}{7}.
Então a massa do hélio é
m_{\text{He}}=\rho_{\text{He}}\,V=\frac{\rho_{\text{ar}}\,V}{7}.
Como \rho_{\text{ar}}\,V é a massa de ar deslocada, fica mais prático calcular primeiro \rho_{\text{ar}}V:
\rho_{\text{ar}}V=1{,}16\cdot 523{,}599\approx 607{,}774\\ \mathrm{kg}.
Logo
m_{\text{He}}=\frac{607{,}774}{7}\approx 86{,}825\\ \mathrm{kg}.
E a massa total que vai acelerar (pessoas + hélio) é
m_{\text{tot}}=m_{\text{pessoas}}+m_{\text{He}}=140+86{,}825\approx 226{,}825\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Forças verticais atuando (positiva para cima):
  • Empuxo para cima: \;F_{b}=\rho_{\text{ar}}gV.
  • Peso do hélio para baixo: \;W_{\text{He}}=m_{\text{He}}g.
  • Peso das pessoas para baixo: \;W_{\text{pessoas}}=m_{\text{pessoas}}g.
Calculemos F_{b} numericamente:
F_{b}=\rho_{\text{ar}}gV=1{,}16\cdot 9{,}8\cdot 523{,}599\approx 5\,956{,}18\\ \mathrm{N}.
Observação útil: como m_{\text{He}}=(\rho_{\text{ar}}V)/7, o peso do hélio é simplesmente W_{\text{He}}=F_{b}/7. Assim
W_{\text{He}}\approx \frac{5\,956{,}18}{7}\approx 850{,}88\\ \mathrm{N}.
E o peso das pessoas é
W_{\text{pessoas}}=140\cdot 9{,}8=1\,372\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Força resultante para cima (soma vetorial, empuxo menos pesos):
F_{\text{res}}=F_{b}-W_{\text{He}}-W_{\text{pessoas}}.
Usando os valores numéricos:
F_{\text{res}}\approx 5\,956{,}18-850{,}88-1\,372\approx 3\,733{,}30\\ \mathrm{N}.
Interpretação: essa é a força líquida que acelera o conjunto.

Passo 7

Aplicando a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração:
a=\frac{F_{\text{res}}}{m_{\text{tot}}}.
Substituindo números:
a\approx\frac{3\,733{,}30}{226{,}825}\approx 16{,}46\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Explicação didática: dividimos a força líquida pela massa que está sendo acelerada (pessoas mais o gás), como manda F=ma. O resultado positivo indica aceleração para cima.

Resposta

a\approx 16{,}46\\ \mathrm{m/s^{2}} para cima.

Exercícios relacionados