110_ ( Escola Naval - 92 ) O lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que |z|=2|z-1| é uma:
a) Reta
b) Circunferência de raio 2 / 3
c) Circunferência de raio 4 / 3
d) Elipse
e) Parábola

Passo 1

O enunciado pede: determinar o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que |z|=2|z-1|. Informações dadas: a igualdade |z|=2|z-1| e as alternativas (reta, circunferência de raio \tfrac{2}{3}, circunferência de raio \tfrac{4}{3}, elipse, parábola). A nossa missão é decidir qual dessas alternativas descreve o conjunto de pontos z que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vamos traduzir a condição em coordenadas reais. Escrevo z como
z=x+iy,
onde x e y são as coordenadas reais do ponto. Lembre que |z| é a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0) e |z-1| é a distância até o ponto (1,0).

Passo 3

Escrevo a equação do enunciado em termos de x e y. Como ambos os lados de |z|=2|z-1| são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Assim:
|z|^2 = 4|z-1|^2.
Agora substituo |z|^2 = x^2+y^2 e |z-1|^2 = (x-1)^2+y^2. Então:
x^2+y^2 = 4\big((x-1)^2+y^2\big).

Passo 4

Faço a expansão e simplificação passo a passo. Expando o lado direito:
x^2+y^2 = 4\big(x^2 - 2x +1 + y^2\big) = 4x^2 -8x +4 +4y^2.
Levo tudo para um lado:
0 = 4x^2 -8x +4 +4y^2 - x^2 - y^2 = 3x^2 +3y^2 -8x +4.
Divido por 3 para simplificar:
x^2 + y^2 - \tfrac{8}{3}x + \tfrac{4}{3} = 0.

Passo 5

Completo o quadrado em x para reconhecer a forma geométrica. Reescrevo x^2 - \tfrac{8}{3}x como
x^2 - \tfrac{8}{3}x = \left(x - \tfrac{4}{3}\right)^2 - \left(\tfrac{4}{3}\right)^2 = \left(x - \tfrac{4}{3}\right)^2 - \tfrac{16}{9}.
Substituindo na equação:
\left(x - \tfrac{4}{3}\right)^2 - \tfrac{16}{9} + y^2 + \tfrac{4}{3} = 0.
Calculo os termos constantes: -\tfrac{16}{9} + \tfrac{4}{3} = -\tfrac{16}{9} + \tfrac{12}{9} = -\tfrac{4}{9}. Portanto:
\left(x - \tfrac{4}{3}\right)^2 + y^2 = \tfrac{4}{9}.

Passo 6

A equação obtida é a de uma circunferência cujo centro é \left(\tfrac{4}{3},0\right) e cujo raio R satisfaz R^2=\tfrac{4}{9}, logo
R=\sqrt{\tfrac{4}{9}}=\tfrac{2}{3}.
Portanto o lugar geométrico é uma circunferência de raio \tfrac{2}{3}. (Observação conceitual curta: relações do tipo |z-z_1| = k\,|z-z_2| com k\neq 1 produzem circunferências—são chamadas de círculos de Apollonius.)

Resposta

b) Circunferência de raio \tfrac{2}{3}

Exercícios relacionados