110_ ( Escola Naval - 92 ) O lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que
é uma:
a) Reta
b) Circunferência de raio
c) Circunferência de raio
d) Elipse
e) Parábola
a) Reta
b) Circunferência de raio
c) Circunferência de raio
d) Elipse
e) Parábola
Passo 1
O enunciado pede: determinar o lugar geométrico das imagens dos complexos
tais que
. Informações dadas: a igualdade
e as alternativas (reta, circunferência de raio
, circunferência de raio
, elipse, parábola). A nossa missão é decidir qual dessas alternativas descreve o conjunto de pontos
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Vamos traduzir a condição em coordenadas reais. Escrevo
como
onde
e
são as coordenadas reais do ponto. Lembre que
é a distância do ponto
até a origem
e
é a distância até o ponto
.
Passo 3
Escrevo a equação do enunciado em termos de
e
. Como ambos os lados de
são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Assim:
Agora substituo
e
. Então:
Passo 4
Faço a expansão e simplificação passo a passo. Expando o lado direito:
Levo tudo para um lado:
Divido por
para simplificar:
Passo 5
Completo o quadrado em
para reconhecer a forma geométrica. Reescrevo
como
Substituindo na equação:
Calculo os termos constantes:
. Portanto:
Passo 6
A equação obtida é a de uma circunferência cujo centro é
e cujo raio
satisfaz
, logo
Portanto o lugar geométrico é uma circunferência de raio
. (Observação conceitual curta: relações do tipo
com
produzem circunferências—são chamadas de círculos de Apollonius.)
Resposta
b) Circunferência de raio