(a) Pergunta se f(x,y) é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.
(b) Calcular \left.\dfrac{d}{dt}f(g(t))\right|_{t=0} onde g(t)=\bigl(1-t^{2},\,2+t\bigr).
Informações relevantes dadas: a expressão de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor definido em (0,0). Não há outras figuras ou tabelas.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma coisa importante (explicada passo a passo): se uma função é diferenciável num ponto então ela é, em particular, contínua nesse ponto. Portanto, para mostrar que f NÃO é diferenciável em algum ponto basta mostrar que ela não é contínua nesse ponto.
Também é útil lembrar que, quando uma função é dada por quociente de polinômios e o denominador é não nulo num ponto, essa função é suave (infinitamente diferenciável) naquele ponto — porque soma, produto e divisão por função não nula preservam diferenciabilidade. Vou usar isso a seguir.
Passo 3
Analisando pontos fora da origem: para (x,y)\neq(0,0) a função é razão de polinômios com denominador x^{2}+y^{2}\neq0. Logo, para todo (x,y)\neq(0,0) a função f é diferenciável (é até C^{\infty}). Isso resolve a diferenciabilidade em todos os pontos exceto possivelmente em (0,0).
Passo 4
Agora focamos em (0,0). Vamos estudar a continuidade de f em (0,0). Se a função não for contínua em (0,0), então certamente não é diferenciável ali.
Calcule o valor de f ao aproximar (x,y) de (0,0) por duas direções diferentes:
Ao aproximar pela reta y=0 (ou seja pontos (h,0) com h\to0, h\neq0):
Como as duas aproximações dão limites diferentes (um dá 1, outro dá 0), não existe limite único de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Portanto f não é contínua em (0,0).
Passo 5
Concluímos então que f não é diferenciável em (0,0) (porque diferenciabilidade implica continuidade). Para reforçar a intuição, podemos também olhar as derivadas parciais em (0,0) pela definição: por exemplo
que não existe como número finito. (Isto confirma que não há derivadas parciais finitas em (0,0).)
Portanto, a resposta para (a) é: f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2} exceto possivelmente em (0,0), e na verdade NÃO é diferenciável em (0,0).
Passo 6
Agora parte (b). Como g(0)=\bigl(1-0^{2},\,2+0\bigr)=(1,2) e (1,2)\neq(0,0), estamos compondo f com uma curva que passa por um ponto onde f é diferenciável. Assim podemos usar a regra da cadeia: se f é diferenciável em (1,2) e g é diferenciável em 0, então
Precisamos do gradiente \nabla f(x,y)=\bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigr) para (x,y)\neq(0,0). Vamos derivar usando a regra do quociente. Defina
(a) Não. f é diferenciável em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, mas não é diferenciável em (0,0).
(b) \displaystyle \left.\frac{d}{dt}f(g(t))\right|_{t=0}=\frac{6}{25}.