112_ (ITA - 89 ) O valor da expressão
, sendo
um número complexo, é:
a) 5 , se
b) 4 , se
c) 0 , se
d) 2, para todo z
e) 3 , se
a) 5 , se
b) 4 , se
c) 0 , se
d) 2, para todo z
e) 3 , se
Passo 1
O enunciado pede o valor da expressão
, sendo
um número complexo.
Informações dadas: é um número complexo (sem restrições adicionais).
Pergunta: calcular a expressão em função de e, em seguida, verificar qual alternativa do teste corresponde ao resultado.
Informações dadas:
Pergunta: calcular a expressão em função de
Passo 2
Vamos representar
em coordenadas reais para manipular módulos de forma concreta. Escrevemos
onde
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
.
Lembrete didático: o módulo de um número complexo é
, então o quadrado do módulo é
Lembrete didático: o módulo de um número complexo
Isso é útil porque evita raízes e facilita as contas na prova.
Passo 3
Calculemos cada módulo ao quadrado separadamente usando
.
Primeiro,
Expliquei: tiramos a parte real
e a parte imaginária
e aplicamos a fórmula
.
Passo 4
Agora o outro termo:
Passo 5
Somando os dois resultados:
Desenvolvendo os quadrados:
Somando tudo:
Os termos
e
se cancelam, e obtemos
Passo 6
Fatorando
e reconhecendo
, temos a forma muito prática
A explicação: isso mostra que a expressão depende apenas do módulo de
, não da sua fase.
Passo 7
Agora avaliamos as alternativas usando a fórmula final
.
a) Afirma que o valor é
se
. Pelo resultado, quando
o valor fica entre
(quando
) e
(quando
), então não é sempre
. Alternativa falsa.
b) Afirma que o valor é
se
. Substituindo
na fórmula:
Alternativa verdadeira.
c) Afirma que o valor é
se
. Se
então
e
, nunca
(salvo contradição). Alternativa falsa.
d) Afirma que o valor é
para todo
. Pela fórmula, isso só ocorre se
(i.e.
). Logo falso como enunciado geral.
e) Afirma que o valor é
se
. Se
então
e
, o valor é
que geralmente não é
. Alternativa falsa.
Resposta
(b)