112_ (ITA - 89 ) O valor da expressão 1-\left.z\right|^{2}+|1+z|^{2}, sendo z um número complexo, é:
a) 5 , se |z| \leq 1
b) 4 , se |z|=1
c) 0 , se \operatorname{lm}(z)=0
d) 2, para todo z
e) 3 , se \operatorname{Re}(z)=0

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão |1-z|^{2}+|1+z|^{2}, sendo z um número complexo.
Informações dadas: z é um número complexo (sem restrições adicionais).
Pergunta: calcular a expressão em função de z e, em seguida, verificar qual alternativa do teste corresponde ao resultado.

Passo 2

Vamos representar z em coordenadas reais para manipular módulos de forma concreta. Escrevemos
z = x + i y
onde x=\operatorname{Re}(z) é a parte real de z e y=\operatorname{Im}(z) é a parte imaginária de z.
Lembrete didático: o módulo de um número complexo a+ib é \sqrt{a^{2}+b^{2}}, então o quadrado do módulo é
|a+ib|^{2} = a^{2}+b^{2}.
Isso é útil porque evita raízes e facilita as contas na prova.

Passo 3

Calculemos cada módulo ao quadrado separadamente usando z=x+iy.
Primeiro,
|1-z|^{2} = |1-(x+iy)|^{2} = |(1-x)-iy|^{2} = (1-x)^{2}+(-y)^{2} = (1-x)^{2}+y^{2}.
Expliquei: tiramos a parte real (1-x) e a parte imaginária (-y) e aplicamos a fórmula a^{2}+b^{2}.

Passo 4

Agora o outro termo:
|1+z|^{2} = |1+(x+iy)|^{2} = |(1+x)+iy|^{2} = (1+x)^{2}+y^{2}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
|1-z|^{2}+|1+z|^{2} = \big((1-x)^{2}+y^{2}\big) + \big((1+x)^{2}+y^{2}\big).
Desenvolvendo os quadrados:
(1-x)^{2} = 1 - 2x + x^{2},\qquad (1+x)^{2} = 1 + 2x + x^{2}.
Somando tudo:
|1-z|^{2}+|1+z|^{2} = (1-2x+x^{2}+y^{2}) + (1+2x+x^{2}+y^{2}).
Os termos -2x e +2x se cancelam, e obtemos
|1-z|^{2}+|1+z|^{2} = 2 + 2x^{2} + 2y^{2}.

Passo 6

Fatorando 2 e reconhecendo x^{2}+y^{2}=|z|^{2}, temos a forma muito prática
|1-z|^{2}+|1+z|^{2} = 2\big(1 + |z|^{2}\big).
A explicação: isso mostra que a expressão depende apenas do módulo de z, não da sua fase.

Passo 7

Agora avaliamos as alternativas usando a fórmula final |1-z|^{2}+|1+z|^{2}=2(1+|z|^{2}).
a) Afirma que o valor é 5 se |z|\leq 1. Pelo resultado, quando |z|\leq 1 o valor fica entre 2 (quando |z|=0) e 4 (quando |z|=1), então não é sempre 5. Alternativa falsa.
b) Afirma que o valor é 4 se |z|=1. Substituindo |z|=1 na fórmula:
2(1+|z|^{2}) = 2(1+1)=4.
Alternativa verdadeira.
c) Afirma que o valor é 0 se \operatorname{Im}(z)=0. Se \operatorname{Im}(z)=0 então |z|^{2}=x^{2}\ge0 e 2(1+|z|^{2})\ge2, nunca 0 (salvo contradição). Alternativa falsa.
d) Afirma que o valor é 2 para todo z. Pela fórmula, isso só ocorre se |z|^{2}=0 (i.e. z=0). Logo falso como enunciado geral.
e) Afirma que o valor é 3 se \operatorname{Re}(z)=0. Se \operatorname{Re}(z)=0 então x=0 e |z|^{2}=y^{2}, o valor é 2(1+y^{2}) que geralmente não é 3. Alternativa falsa.

Resposta

(b)

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