Considere a função z=f(x, y)=\sqrt{4 x^{2}+10 y^{2}} e que x=5 e^{t-1} e y=2 \ln t. Calcule \frac{d z}{d t} para t=1.
Passo 1
O enunciado dá a função \,z=f(x,y)=\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}\, e as expressões \,x=5e^{t-1}\, e \,y=2\ln t\,. Pede-se a derivada de z em relação a t avaliada em t=1, isto é, \displaystyle \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=1}.
Informações relevantes: \,z depende de x e y, que por sua vez dependem de t. Não há mais dados.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia diz que, se \,z=f(x,y)\, com x=x(t) e y=y(t), então
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e \frac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t; analogamente para o termo com y. Essa fórmula soma as contribuições das variações de x e de y sobre z.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}. Seja u=4x^{2}+10y^{2}, então f=\sqrt{u}=u^{1/2}. A derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Assim,