Considere a função z=f(x, y)=\sqrt{4 x^{2}+10 y^{2}} e que x=5 e^{t-1} e y=2 \ln t. Calcule \frac{d z}{d t} para t=1.

Passo 1

O enunciado dá a função \,z=f(x,y)=\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}\, e as expressões \,x=5e^{t-1}\, e \,y=2\ln t\,. Pede-se a derivada de z em relação a t avaliada em t=1, isto é, \displaystyle \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=1}.
Informações relevantes: \,z depende de x e y, que por sua vez dependem de t. Não há mais dados.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia diz que, se \,z=f(x,y)\, com x=x(t) e y=y(t), então
\frac{dz}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e \frac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t; analogamente para o termo com y. Essa fórmula soma as contribuições das variações de x e de y sobre z.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}. Seja u=4x^{2}+10y^{2}, então f=\sqrt{u}=u^{1/2}. A derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Assim,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial u}{\partial x}=8x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{8x}{2\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}=\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}.
De forma análoga, para y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}
com \frac{\partial u}{\partial y}=20y, logo
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{20y}{2\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}=\frac{10y}{\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}.

Passo 4

Agora calculemos \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} e os valores de x e y em t=1.
Temos \,x(t)=5e^{t-1}\,. A derivada é
\frac{dx}{dt}=5e^{t-1}=x(t).
Em t=1 isso dá \,x(1)=5e^{0}=5\, e \,\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=1}=5\,.
Temos \,y(t)=2\ln t\,. A derivada é
\frac{dy}{dt}=2\cdot\frac{1}{t}=\frac{2}{t}.
Em t=1 isso dá \,y(1)=2\ln 1=0\, e \,\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=1}=\frac{2}{1}=2\,.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia com os valores avaliados em t=1. Usando as expressões das derivadas parciais,
\frac{dz}{dt}=\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}\frac{dx}{dt}+\frac{10y}{\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}\frac{dy}{dt}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{dz}{dt}=\frac{4x\frac{dx}{dt}+10y\frac{dy}{dt}}{\sqrt{4x^{2}+10y^{2}}}.
Agora substituímos os valores em t=1: x=5, \frac{dx}{dt}=5, y=0, \frac{dy}{dt}=2. Então o numerador fica
4\cdot 5 \cdot 5 + 10\cdot 0 \cdot 2 = 100 + 0 = 100.
O denominador é
\sqrt{4\cdot 5^{2} + 10\cdot 0^{2}} = \sqrt{4\cdot 25} = \sqrt{100} = 10.

Passo 6

Portanto,
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=1}=\frac{100}{10}=10.
Foi só seguir a regra da cadeia, calcular parciais e derivadas de x(t) e y(t), e avaliar em t=1. Você mandou bem chegando até aqui — respira e confia!

Resposta

10

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