3-117 A vertical, frictionless piston-cylinder device contains a gas at 500 kPa . The atmospheric pressure outside is 100 kPa , and the piston area is 30 \mathrm{~cm}^{2}. Determine the mass of the piston.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a massa do pistão que está em equilíbrio vertical sobre um gás. Informações fornecidas pelo enunciado:
\bullet Pressão do gás abaixo do pistão: \;500\\ \mathrm{kPa}.
\bullet Pressão atmosférica acima do pistão: \;100\\ \mathrm{kPa}.
\bullet Área do pistão: \;30\\ \mathrm{cm}^2.
O que precisamos encontrar: a massa do pistão (em kg) necessária para equilibrar as forças.

Passo 2

Conceito físico básico que usamos (explicadinho): pressão é força por unidade de área. A relação é
P=\frac{F}{A},
onde \;P é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}), \;F é a força (em newton, \mathrm{N}) e \;A é a área (em \mathrm{m}^2). Rearranjando, a força que uma pressão produz sobre uma área é
F=P\cdot A.
No pistão temos duas pressões que atuam em sentidos opostos: a pressão do gás empurra para cima e a pressão atmosférica empurra para baixo. A diferença de pressão gera uma força líquida sobre o pistão. Além disso existe o peso do pistão, que também age para baixo. Em equilíbrio:
\text{força para cima pelo gás} = \text{força para baixo pela atmosfera} + \text{peso do pistão}.çáçã
Logo o peso do pistão \;W é igual à diferença de forças devido às pressões:
W = \Delta P \cdot A,
onde \Delta P = P_{\text{gás}} - P_{\text{atm}}á.

Passo 3

Vamos transformar unidades para o sistema internacional (SI). Área dada: \;30\\ \mathrm{cm}^2. Sabendo que \;1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, temos
A = 30\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 3,0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a diferença de pressão \Delta P. Temos \;P_{\text{gás}}=500\\ \mathrm{kPa}á e \;P_{\text{atm}}=100\\ \mathrm{kPa}, então
\Delta P = 500\\ \mathrm{kPa} - 100\\ \mathrm{kPa} = 400\\ \mathrm{kPa}.
Convertendo para pascal:
\Delta P = 400\\ \mathrm{kPa} = 4,0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a força líquida (que será igual ao peso do pistão) usando F=\Delta P\cdot A. Substituindo os valores:
W = F = \Delta P \cdot A = \left(4,0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(3,0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2\right).
Fazendo a multiplicação:
W = 1,2\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Interpretação: o gás exerce 1,2×10^3 N para cima a mais do que a atmosfera exerce para baixo; esse excesso sustenta o peso do pistão.

Passo 6

Relacionar peso e massa. O peso W está ligado à massa m por
W = m g,
onde \;g é a aceleração da gravidade. Usamos g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}. Assim
m=\frac{W}{g}.

Passo 7

Calcular a massa:
m=\frac{1,2\times 10^{3}\\ \mathrm{N}}{9,81\\ \mathrm{m/s^2}} \approx 122,3\\ \mathrm{kg}.
(Sempre confira unidades: \mathrm{N}/(\mathrm{m/s^2})=\mathrm{kg}.)

Resposta

122,3\\ \mathrm{kg}

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