Q 111 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=(x-1)^4(x^2+2 x)^5;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(x-1)^4l(x^2+2xr)^5
Aqui vamos usar a regra do produto (após reescrever como produto) e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevo f(x) como produto de duas funções:
f(x) = (x-1)^4,l(x^2+2xr)^-5

Passo 3

Defino
u(x) = (x-1)^4, v(x) = l(x^2+2xr)^-5
Então uso cadeia para cada derivada:
u'(x) = 4(x-1)^3,
v'(x) = -5l(x^2+2xr)^-6cdot(2x+2) = -10(x+1),(x^2+2x)^-6

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) =4(x-1)^3(x^2+2x)^-5 -10(x-1)^4(x+1)(x^2+2x)^-6

Passo 5

Fatoro o máximo em comum: (x-1)^3(x^2+2x)^-6. Assim
f'(x) =(x-1)^3(x^2+2x)^-6l[4(x^2+2x)-10(x-1)(x+1)r]
Dentro dos colchetes:
4(x^2+2x)-10(x^2-1) =4x^2+8x-10x^2+10 =-6x^2+8x+10 =-2l(3x^2-4x-5r)
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f'(x) = (x-1)^3(x^2+2x)^-6,l[-2(3x^2-4x-5)r] =-2,(x-1)^3,3x^2-4x-5(x^2+2x)^6

Resposta

f'(x)=-2,(x-1)^3,dfrac3x^2-4x-5(x^2+2x)^6

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