Q 111 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=(x^4-1)^3(x^3+1)^4;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^4-1r)^3,l(x^3+1r)^4
Aqui vamos usar a regra do produto e, internamente, a regra da cadeia para cada fator composto.

Passo 2

Defina
u(x) = l(x^4-1r)^3
Para u'(x) aplicamos a cadeia: derivada de (cdot)^3 é 3(cdot)^2 vezes a derivada de x^4-1, que é 4x^3. Logo,
u'(x) = 3l(x^4-1r)^2cdot 4x^3 =12x^3,l(x^4-1r)^2

Passo 3

Defina
v(x) = l(x^3+1r)^4
Para v'(x) aplicamos a mesma ideia: derivada de (cdot)^4 é 4(cdot)^3 vezes a derivada de x^3+1, que é 3x^2. Assim,
v'(x) = 4l(x^3+1r)^3cdot 3x^2 =12x^2,l(x^3+1r)^3

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v', obtemos
f'(x) =12x^3,l(x^4-1r)^2,l(x^3+1r)^4 ;+;l(x^4-1r)^3,12x^2,l(x^3+1r)^3

Passo 5

Perceba que ambos os termos têm em comum o fator
12x^2,l(x^4-1r)^2,l(x^3+1r)^3
Fatorando isso em evidência:
f'(x) =12x^2,l(x^4-1r)^2,l(x^3+1r)^3 l[x,(x^3+1)+(x^4-1)r]

Passo 6

No colchete fazemos a soma
x,(x^3+1)+(x^4-1) =x^4+x + x^4-1 =2x^4+x-1
Logo a forma final fica
f'(x) =12x^2,l(x^4-1r)^2,l(x^3+1r)^3,(2x^4+x-1)

Resposta

f'(x) =12x^2,l(x^4-1r)^2,l(x^3+1r)^3,(2x^4+x-1)

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