Resolva os problemas a seguir
ld xd t=-6 x+5 y d yd t=-5 x+4 y

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo de EDOs
dxdt = -6x + 5y, dydt = -5x + 4y,
e pede a solução geral. O conteúdo é resolução de sistema linear 2times2 com coeficientes constantes, usando autovalores, autovetores e, no caso de valor próprio duplo, vetor generalizado.

Passo 2

Escrevemos na forma matricial

Passo 3

O polinômio característico vem de
det(A - lambda I) = det-6-lambda & 5-5 & 4-lambda = (-6-lambda)(4-lambda) - (5)(-5) = lambda^2 + 2lambda + 1,
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lambda^2 + 2lambda + 1 = 0 ;Longrightarrow; (lambda+1)^2 = 0 ;Longrightarrow; lambda = -1 (dupla)

Passo 4

Buscamos autovetor v tal que (A -(-1)I)v = (A+I)v = 0:
(A+I) = -5 & 5-5 & 5,
daí -5v1+5v2=0implies v2=v1. Podemos escolher
v = 11

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado w satisfazendo
(A + I)w = v
Uma escolha conveniente é
w = 0[4pt] 15,
pois verifica-se que (A+I)w = v.]

Passo 6

Para autovalor duplo com único autovetor usa-se a forma
X(t) = c1,e^-tv ;+; c2,e^-tl(t,v + wr),
onde c1,c2 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t) = e^-tl(c1 + c2,tr),[6pt] y(t) = e^-tl(c1 + c2,t + tfrac15c2r) ]

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