Resolva os problemas de valor inicial dados:
X^prime=(lll1 & 1 & 4 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1) X, X(0)=(l1 3 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
X' = A, X,
com
A = 1&1&40&2&01&1&1, X(0)=130
Aqui usamos o método de diagonalização de A: vamos achar os autovalores e autovetores de A, montar a solução geral como combinação linear de vetores próprios multiplicados por exponenciais, e então impor a condição inicial.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) = det1-lambda&1&40&2-lambda&01&1&1-lambda
Como a segunda linha só tem o elemento 2-lambda não-nulo na coluna 2, obtemos
det(A-lambda I) =(2-lambda),det1-lambda&41&1-lambda =(2-lambda)l((1-lambda)^2-4r)
Como (1-lambda)^2-4=lambda^2-2lambda-3=(lambda-3)(lambda+1), seguem-se os autovalores
lambda1=2, lambda2=3, lambda3=-1

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I) v=0:
  1. lambda1=2:
(A-2I)=-1&1&40&0&01&1&-1,
de onde
- x + y +4z=0, x+y -z=0 ;Longrightarrow; x=tfrac52z,;y=-tfrac32z
Escolhendo z=2, um autovetor é
v1=5-32
  1. lambda2=3:
(A-3I)=-2&1&40&-1&01&1&-2,
de
-2x+y+4z=0, -y=0 ;Longrightarrow; y=0,;x=2z
Tomando z=1, obtemos
v2=201
  1. lambda3=-1:
(A+I)=2&1&40&3&01&1&2,
de
2x+y+4z=0, 3y=0 ;Longrightarrow; y=0,;x=-2z
Com z=1, temos
v3=-201

Passo 4

A solução geral do sistema é
X(t) = c1,e^2t, v1 + c2,e^3t, v2 + c3,e^-t, v3

Passo 5

Impondo X(0)=(1,3,0)^T, obtemos o sistema
c15-32 + c2201 + c3-201 =130
Da segunda linha: -3c1=3implies c1=-1.
Das outras duas linhas resolve-se
5(-1)+2c2-2c3=1, 2(-1)+c2+c3=0
para encontrar
c2=52, c3=-12

Resposta

X(t) =!-,e^2t5-32 +52,e^3t201 -12,e^-t-201
Equivalente a cada componente:
X1(t)=-5e^2t+5e^3t+e^-t, X2(t)=3e^2t, X3(t)=-2e^2t+tfrac52e^3t-tfrac12e^-t

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